Номер 561, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 561, страница 130.

561. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см².

Пусть x(см) - один катет прямоугольного треугольника, тогда (23-x)см - второй катет прямоугольного треугольника. Зная, что площадь треугольника равна 60см², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}x(23-x)=60 \\ x(23-x)=120 \\ 23x-x^2-120=0 \\ -x^2+23x-120=0 \\ D={23}^2-4·(-1)·(-120)=529-480=49 \\ x=\frac{-23\pm \sqrt{49}}{-2}; x=\frac{-23\pm 7}{-2} \\ x=8 \text{или} x=15 \end{gathered}$$

если x=8 см, то 23-8=15(см)

если x=15 см, то 23-15=8(см)

Ответ: 8см и 15см

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$.

По условию задачи, сумма длин катетов равна 23 см. Это можно записать в виде первого уравнения:
$a + b = 23$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По условию, площадь равна 60 см². Отсюда получаем второе уравнение:
$\frac{1}{2}ab = 60$

Из второго уравнения выразим произведение катетов:
$ab = 60 \cdot 2 = 120$

В результате мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 23 \\ ab = 120 \end{cases}$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, если числа $a$ и $b$ удовлетворяют таким соотношениям, то они являются корнями квадратного уравнения вида $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения в это уравнение:
$x^2 - 23x + 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

Найдем корни уравнения, которые и будут являться длинами наших катетов:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см.

Проведем проверку:
Сумма катетов: $8 + 15 = 23$ см.
Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$ см².
Оба условия задачи выполнены.

Ответ: катеты равны 8 см и 15 см.