Номер 562, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 562, страница 130.

562. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.

Пусть n и n+1 - два последовательных натуральных числа. Зная, что произведение этих чисел больше их суммы на 109, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} n(n+1)=n+n+1+109 \\ {n}^2+n-2n-110=0 \\ {n}^2-n-110=0 \\ D={(-1)}^2-4·(-110)=1+440=441 \\ n=\frac{1\pm \sqrt{441}}{2}; n=\frac{1\pm 21}{2} \\ n=11 \text{или} n=-10\notin N \end{gathered}$$

2) 11+1=12

Ответ: 11 и 12

Пусть первое натуральное число равно $n$. Тогда следующее за ним последовательное натуральное число равно $n + 1$. По условию, $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Произведение этих двух чисел равно $n(n + 1)$.

Их сумма равна $n + (n + 1) = 2n + 1$.

Согласно условию задачи, произведение на 109 больше суммы. Это можно записать в виде уравнения:
$n(n + 1) = (2n + 1) + 109$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки и упростим выражение:
$n^2 + n = 2n + 110$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$n^2 + n - 2n - 110 = 0$
$n^2 - n - 110 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения вида $an^2 + bn + c = 0$ (где $a=1$, $b=-1$, $c=-110$) найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, а число $-10$ не является натуральным. Следовательно, нам подходит только корень $n_1 = 11$.

Итак, первое число равно 11. Второе последовательное число равно $n + 1 = 11 + 1 = 12$.

Выполним проверку:
Произведение чисел: $11 \cdot 12 = 132$.
Сумма чисел: $11 + 12 = 23$.
Разница между произведением и суммой: $132 - 23 = 109$.
Условие выполнено.

Ответ: 11 и 12.