Номер 564, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 564, страница 130.

564. От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна 80 см². Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертёж (в масштабе 1 : 2).

Пусть x см - длина стороны квадрата и одновременно ширина прямоугольного листа картона, тогда (26-2x)см - длина оставшейся части. Зная, что площадь оставшейся части равна 80см², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} (26-2x)x=80 \\ 26x-2x^2-80=0 \\ -2x^2+26x-80=0 /:(-2) \\ {x}^2-13x+40=0 \\ D={(-13)}^2-4·1·40=169-160=9 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{13\pm 3}{2} \end{gathered}$$

x=8 или x=5

Ответ: 8см или 5см

Обозначим ширину прямоугольного листа картона через $w$ в сантиметрах. По условию, длина листа равна 26 см. Площадь исходного листа картона составляет $S_{исх} = 26w$ $см^2$.

С двух сторон от листа отрезали квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа, то есть $w$. Площадь одного такого квадрата равна $S_{кв} = w^2$ $см^2$. Поскольку отрезали два квадрата, их общая площадь составляет $2S_{кв} = 2w^2$ $см^2$.

Площадь оставшейся части листа равна разности площади исходного листа и общей площади вырезанных квадратов. По условию, эта площадь равна 80 $см^2$. Составим уравнение: $S_{исх} - 2S_{кв} = 80$ $26w - 2w^2 = 80$

Перенесем все члены уравнения в одну часть и приведем его к стандартному виду, разделив на -2: $2w^2 - 26w + 80 = 0$ $w^2 - 13w + 40 = 0$

Это квадратное уравнение. Чтобы показать, что задача имеет два решения, найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$. Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, задача имеет два решения.

Найдем эти решения (корни уравнения): $w_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm 3}{2}$. Первый корень: $w_1 = \frac{13 - 3}{2} = 5$. Второй корень: $w_2 = \frac{13 + 3}{2} = 8$.

Оба корня положительные. Проверим, являются ли они физически возможными. Длина вырезаемой части с двух сторон ($2w$) должна быть меньше длины листа (26 см). Для $w_1 = 5$: $2 \cdot 5 = 10 < 26$. Решение возможно. Для $w_2 = 8$: $2 \cdot 8 = 16 < 26$. Решение также возможно.

Рассмотрим каждый из двух случаев, как требуется в условии.

Случай 1

Ширина листа картона равна 5 см. Проверим: площадь оставшейся части равна $26 \cdot 5 - 2 \cdot 5^2 = 130 - 2 \cdot 25 = 130 - 50 = 80$ $см^2$. Это соответствует условию.

Ниже представлен чертёж для этого случая в масштабе 1:2. Размеры на чертеже в два раза меньше реальных. Реальные размеры указаны на выносных линиях. Оставшаяся часть закрашена, вырезанные квадраты показаны пунктиром.

Ответ: ширина листа картона 5 см.

Случай 2

Ширина листа картона равна 8 см. Проверим: площадь оставшейся части равна $26 \cdot 8 - 2 \cdot 8^2 = 208 - 2 \cdot 64 = 208 - 128 = 80$ $см^2$. Это соответствует условию.

Ниже представлен чертёж для этого случая в масштабе 1:2.

Ответ: ширина листа картона 8 см.