Номер 558, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 558, страница 129.

558. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см².

Пусть x(см) - ширина прямоугольника, тогда (x+4)см - длина прямоугольника. Зная, что площадь прямоугольника равна 60см², составим и решим уравнение

1) x(x+4)=60

$$\begin{gathered} x^2+4x-60=0 \\ D=4^2-4·1·(-60)=16+240=256 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2}; x=\frac{-4\pm 16}{2} \end{gathered}$$

x=6 или x=-10 - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 6+4=10(см) - длина

3) P=2*(10+6)=32(см)

Ответ: 32см

Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, длина прямоугольника на 4 см больше ширины, следовательно, длина равна $(x + 4)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину. Известно, что площадь равна 60 см?. Составим и решим уравнение:

$S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$
$60 = (x + 4) \cdot x$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 4x = 60$
$x^2 + 4x - 60 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку ширина прямоугольника не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, ширина прямоугольника равна 6 см.

Теперь найдем длину прямоугольника:
Длина = $x + 4 = 6 + 4 = 10$ см.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$.
$P = 2 \cdot (10 + 6) = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: 32 см.