Номер 552, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 552, страница 127.

552. (Задача-исследование.) Решите уравнения:

1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).

2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² + bx + a = 0.

3) Докажите, что ваше предположение верно.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-5x+6=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·6=29-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}, x=\frac{5\pm 1}{2} \\ x=3 \text{или} x=2 \\ \text{Ответ:} 2; 3 \\ 6x^2-5x+1=0 \\ D={(-5)}^2-4·6·1=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{12}, x=\frac{5\pm 1}{12} \\ x=\frac{1}{2} \text{или} x=\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{2}; \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x^2-13x+6=0 \\ D={(-13)}^2-4·2·6=169-48=121>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{121}}{4}, x=\frac{13\pm 11}{4} \\ x=6; x=\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{2}; 6 \\ 6x^2-13x+2=0 \\ D={(-13)}^2-4·6·2=169-48=121>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{121}}{12}, x=\frac{13\pm 11}{12} \\ x=2 \text{или} x=\frac{1}{6} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{6}; 2 \end{gathered}$$

2) Если коэффициента a и c в квадратном уравнении поменять местами, то получим квадратное уравнение, корни которого взаимно обратны корням первого уравнения

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c=0 \\ D=b^2-4ac \\ {x}_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ {x}_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} c{x}^2+bx+a=0 \\ D=b^2-4ac \\ {x}_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c} \\ {x}_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}= \\ =\frac{-(b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}·\frac{-(b+\sqrt{b^2-4ac})}{2c}= \\ =\frac{b^2-{\left(\sqrt{b^2-4ac}\right)}^2}{2a·2c}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4ac}= \\ =\frac{b^2-b^2+4ac}{4ac}=1 \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}= \\ =\frac{-(b+\sqrt{b^2-4ac})}{2a}·\frac{-(b-\sqrt{b^2-4ac})}{2c}= \\ =\frac{b^2-{\left(\sqrt{b^2-4ac}\right)}^2}{2a·2c}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4ac}= \\ =\frac{b^2-b^2+4ac}{4ac}=1 \end{gathered}$$

1)

а) Решим первую пару уравнений.

Первое уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Второе уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Решим с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$: $2$ и $3$. Корни уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$: $1/3$ и $1/2$.

б) Решим вторую пару уравнений.

Первое уравнение: $2x^2 - 13x + 6 = 0$.
Решим с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 11}{4}$.
$x_1 = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Второе уравнение: $6x^2 - 13x + 2 = 0$.
Решим с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 11}{12}$.
$x_1 = \frac{13 - 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$x_2 = \frac{13 + 11}{12} = \frac{24}{12} = 2$.
Ответ: Корни уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$: $1/2$ и $6$. Корни уравнения $6x^2 - 13x + 2 = 0$: $1/6$ и $2$.

2)

Сравним результаты, полученные в пункте 1. Уравнения в каждой паре имеют вид $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$, то есть у них поменяны местами первый коэффициент и свободный член.
В паре а) корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $2$ и $3$. Корни уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$ равны $1/2$ и $1/3$.
В паре б) корни уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$ равны $1/2$ и $6$. Корни уравнения $6x^2 - 13x + 2 = 0$ равны $2$ и $1/6$.
В обоих случаях корни второго уравнения являются числами, обратными корням первого уравнения. Например, $1/2$ является обратным к $2$, а $1/3$ — обратным к $3$.

Выскажем предположение: если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \ne 0, c \ne 0$), то корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются обратные им числа $1/x_1$ и $1/x_2$.
Ответ: Корни уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются числами, обратными к корням уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

3)

Докажем наше предположение. Пусть $x_0$ — это некоторый корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получим верное числовое равенство: $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$.

По условию $a \ne 0$ и $c \ne 0$. Из $c \ne 0$ следует, что $x_0 \ne 0$. Действительно, если предположить, что $x_0 = 0$, то равенство примет вид $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$, откуда $c=0$, что противоречит условию. Так как $x_0 \ne 0$, для него существует обратное число $1/x_0$.

Проверим, будет ли число $y_0 = 1/x_0$ корнем уравнения $cy^2 + by + a = 0$. Для этого подставим $y_0$ в левую часть этого уравнения:
$c \cdot (1/x_0)^2 + b \cdot (1/x_0) + a$
Преобразуем выражение:
$\frac{c}{x_0^2} + \frac{b}{x_0} + a$
Приведем к общему знаменателю $x_0^2$ (это возможно, так как $x_0 \ne 0$):
$\frac{c + bx_0 + ax_0^2}{x_0^2}$

Поскольку $x_0$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, числитель полученной дроби $ax_0^2 + bx_0 + c$ равен нулю. Таким образом, все выражение равно:
$\frac{0}{x_0^2} = 0$

Мы получили, что $y_0 = 1/x_0$ удовлетворяет уравнению $cy^2 + by + a = 0$, а значит, является его корнем. Это доказывает, что каждому корню уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ соответствует обратный ему корень уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.
Ответ: Предположение доказано.