Страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

547. Решите уравнение x² = 0,5x + 3 сначала графически, а затем с помощью формулы корней.

$$\begin{gathered} x^2=0,5x+3 \\ {x}^2-0,5x-3=0 \\ D={(-0,5)}^2-4·1·(-3)=0,25+12=12,25>0 \\ x=\frac{0,5\pm \sqrt{12,25}}{2} \\ x=\frac{0,5\pm 3,5}{2} \\ x=2 \text{или} x=-1,5 \\ y=x^2 \\ y=0,5x+3 \end{gathered}$$

x=-1,5; x=2

Ответ: -1,5; 2

Решение графически

Чтобы решить уравнение $x^2 = 0,5x + 3$ графически, нужно построить графики двух функций в одной системе координат и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения.
Разобьем уравнение на две функции:
1. $y = x^2$ — график этой функции является параболой.
2. $y = 0,5x + 3$ — график этой функции является прямой.

1. Построение параболы $y = x^2$:
Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений:

2. Построение прямой $y = 0,5x + 3$:
Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
- Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку (0, 3).
- Если $x = 2$, то $y = 0,5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Получаем точку (2, 4).

3. Нахождение точек пересечения:
Построим эти два графика на одной координатной плоскости. Мы увидим, что они пересекаются в двух точках.
- Первая точка пересечения имеет координаты (2, 4). Абсцисса этой точки $x = 2$.
- Вторая точка пересечения имеет координаты (-1,5; 2,25). Абсцисса этой точки $x = -1,5$.
Абсциссы точек пересечения и являются корнями исходного уравнения.

Ответ: Корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1,5$.

Решение с помощью формулы корней

Для решения уравнения с помощью формулы корней необходимо привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
$x^2 = 0,5x + 3$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 0,5x - 3 = 0$

Чтобы упростить вычисления, умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$2 \cdot (x^2 - 0,5x - 3) = 2 \cdot 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$

Теперь коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -1$, $c = -6$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49$.

Так как $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Результаты, полученные аналитически, совпадают с результатами графического решения.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -1,5$.

548. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуйтесь калькулятором):

а) x² – 8x + 9 = 0;

б) 2y² – 8y + 5 = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-8x+9=0 \\ D={(-8)}^2-4·1·9=64-36=28>0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{28}}{2}, x=\frac{8\pm 2\sqrt{7}}{2} \\ x=4\pm \sqrt{7} \\ x=4+\sqrt{7}\approx 4+2,65\approx 6,65 \\ x=4-\sqrt{7}\approx 4-2,65\approx 1,35 \\ \text{Ответ:} \approx 6,65; \approx 1,35 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2y^2-8y+5=0 \\ D={(-8)}^2-4·2·5=64-40=24>0 \\ y=\frac{8\pm \sqrt{24}}{4}, y=\frac{8\pm 2\sqrt{6}}{4}; y=\frac{2(4\pm \sqrt{6})}{4} \\ y=\frac{4+\sqrt{6}}{2}\approx 3,22 \\ y=\frac{4-\sqrt{6}}{2}\approx 0,78 \\ \text{Ответ:} \approx 0,78; \approx 3,22 \end{gathered}$$

а) $x^2 - 8x + 9 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-8$, $c=9$.
Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$.
Таким образом, точные значения корней: $x_1 = 4 + \sqrt{7}$ и $x_2 = 4 - \sqrt{7}$.
Теперь найдем их приближенные значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01. Воспользуемся калькулятором для вычисления $\sqrt{7} \approx 2,64575...$
$x_1 = 4 + \sqrt{7} \approx 4 + 2,64575... = 6,64575... \approx 6,65$.
$x_2 = 4 - \sqrt{7} \approx 4 - 2,64575... = 1,35424... \approx 1,35$.
Ответ: $x_1 \approx 6,65$; $x_2 \approx 1,35$.

б) $2y^2 - 8y + 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где коэффициенты $a=2$, $b=-8$, $c=5$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 - 40 = 24$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2}$.
Точные значения корней: $y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ и $y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Воспользуемся калькулятором для вычисления $\sqrt{6} \approx 2,44948...$
$y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 + 2,44948...}{2} = \frac{6,44948...}{2} = 3,22474... \approx 3,22$.
$y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 - 2,44948...}{2} = \frac{1,55051...}{2} = 0,77525... \approx 0,78$.
Ответ: $y_1 \approx 3,22$; $y_2 \approx 0,78$.

549. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 0,7x^2=1,3x+2 \\ 0,7x^2-1,3x-2=0 \\ D={(-1,3)}^2-4·0,7·(-2)=1,69+5,6=7,29>0 \\ x=\frac{1,3\pm \sqrt{7,29}}{1,4}, x=\frac{1,3\pm 2,7}{1,4} \\ x=\frac{40}{14} \text{или} x=-1 \\ x=\frac{20}{7} \\ x=2\frac{6}{7} \\ \text{Ответ:} -1; 2\frac{6}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 7=0,4y+\frac{1}{5}{y}^2 /·5 \\ 35=2y+y^2 \\ {y}^2+2y-35=0 \\ D=4^2-4·1·(-35)=4+140=144 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{144}}{2}, y=\frac{-2\pm 12}{2} \\ y=5 \text{или} y=-7 \\ \text{Ответ:} -7; 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2-1,6x-0,36=0 \\ D={(-1,6)}^2-4·1·(-0,36)=2,56+1,44=4>0 \\ x=\frac{1,6\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{1,6\pm 2}{2} \\ x=1,8 \text{или} x=-0,2 \\ \text{Ответ:} -0,2; 1,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} z^2-2z+2,91=0 \\ D={(-2)}^2-4·1·2,91=4-11,64=-7,64<0 \\ \text{Ответ: корней нет} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 0,2y^2-10y+125=0 \\ D={(-10)}^2-4·0,2·125=100-100=0 \\ y=\frac{10}{0,4}; y=\frac{100}{4}; y=25 \\ \text{Ответ:} 25 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} \frac{1}{3}{x}^2+2x-9=0 /·3 \\ {x}^2+6x-27=0 \\ D=6^2-4·(-27)=36+108=144 \\ x=\frac{-6\pm \sqrt{144}}{2}, x=\frac{-6\pm 12}{2} \\ x=3 \text{или} x=-9 \\ \text{Ответ:} -9; 3 \end{gathered}$$

а) $0,7x^2 = 1,3x + 2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$0,7x^2 - 1,3x - 2 = 0$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:
$10 \cdot (0,7x^2 - 1,3x - 2) = 10 \cdot 0$
$7x^2 - 13x - 20 = 0$
Теперь решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 7$, $b = -13$, $c = -20$.
Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-20) = 169 + 560 = 729$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$
$x_1 = \frac{-(-13) + 27}{2 \cdot 7} = \frac{13 + 27}{14} = \frac{40}{14} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$
$x_2 = \frac{-(-13) - 27}{2 \cdot 7} = \frac{13 - 27}{14} = \frac{-14}{14} = -1$
Ответ: $-1; 2\frac{6}{7}$.

б) $7 = 0,4y + \frac{1}{5}y^2$
Сначала приведем уравнение к стандартному виду. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{5} = 0,2$.
$7 = 0,4y + 0,2y^2$
Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим их по степеням $y$:
$0,2y^2 + 0,4y - 7 = 0$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$2y^2 + 4y - 70 = 0$
Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:
$y^2 + 2y - 35 = 0$
Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -35$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: $-7; 5$.

в) $x^2 - 1,6x - 0,36 = 0$
Уравнение уже в стандартном виде. Чтобы работать с целыми числами, умножим обе части уравнения на 100:
$100x^2 - 160x - 36 = 0$
Все коэффициенты делятся на 4, упростим уравнение:
$25x^2 - 40x - 9 = 0$
Коэффициенты: $a = 25$, $b = -40$, $c = -9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-9) = 1600 + 900 = 2500$
$\sqrt{D} = \sqrt{2500} = 50$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-40) + 50}{2 \cdot 25} = \frac{40 + 50}{50} = \frac{90}{50} = \frac{9}{5} = 1,8$
$x_2 = \frac{-(-40) - 50}{2 \cdot 25} = \frac{40 - 50}{50} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5} = -0,2$
Ответ: $-0,2; 1,8$.

г) $z^2 - 2z + 2,91 = 0$
Уравнение представлено в стандартном виде. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = 2,91$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2,91) = 4 - 11,64 = -7,64$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

д) $0,2y^2 - 10y + 125 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 5:
$5 \cdot (0,2y^2 - 10y + 125) = 5 \cdot 0$
$y^2 - 50y + 625 = 0$
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=y$, $b=25$, тогда $2ab = 2 \cdot y \cdot 25 = 50y$. Выражение совпадает.
$(y - 25)^2 = 0$
$y - 25 = 0$
$y = 25$
Также можно решить через дискриминант: $a=1, b=-50, c=625$.
$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 2500 - 2500 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень: $y = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-50)}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$.
Ответ: $25$.

е) $\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9 = 0$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:
$3 \cdot (\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9) = 3 \cdot 0$
$x^2 + 6x - 27 = 0$
Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -27$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-6 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-6 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$
Ответ: $-9; 3$.

550. При каких значениях х верно равенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{1}{7}{x}^2=2x-7 \\ \frac{1}{7}{x}^2-2x+7=0 /·7 \\ {x}^2-14x+49=0 \\ D={(-14)}^2-4·1·49=196-196=0 \\ x=\frac{14}{2}; x=7 \\ \text{Ответ:} 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2+\frac{6}{5}=2,6x \\ {x}^2-2,6x+\frac{6}{5}=0 /·5 \\ 5x^2-13x+6=0 \\ D={(-13)}^2-4·5·6=169-120=49>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{49}}{10}, x=\frac{13\pm 7}{10} \\ x=2 \text{или} x=0,6 \\ \text{Ответ:} 0,6; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 4x^2=7x+7,5 \\ 4x^2-7x-7,5=0 \\ D={(-7)}^2-4·4·(-7,5)=49+120=169>0 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{169}}{8}; x=\frac{7\pm 13}{8} \\ \begin{array}{ccc}x=\frac{20}{8}& \text{или}& x=-\frac{6}{8}\\ x=\frac{5}{2}& & x=-\frac{3}{4}\\ x=2,5& & \end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{3}{4}; 2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 6x^2-2=x \\ 6x^2-x-2=0 \\ D={(-1)}^2-4·6·(-2)=1+48=49>0 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{49}}{12}; x=\frac{1\pm 7}{12} \\ x=\frac{8}{12} \text{или} x=-\frac{1}{2} \\ x=\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{2}; \frac{2}{3} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых верно равенство $\frac{1}{7}x^2 = 2x - 7$, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$\frac{1}{7}x^2 - 2x + 7 = 0$
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$7 \cdot (\frac{1}{7}x^2 - 2x + 7) = 7 \cdot 0$
$x^2 - 14x + 49 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$. В нашем случае $2a=14$, значит $a=7$, и $a^2=49$, что совпадает со свободным членом. Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x - 7)^2 = 0$
Это равенство верно только тогда, когда основание степени равно нулю:
$x - 7 = 0$
$x = 7$
Ответ: 7

б) Рассмотрим равенство $x^2 + \frac{6}{5} = 2,6x$.
Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Перенесем $2,6x$ в левую часть:
$x^2 - 2,6x + \frac{6}{5} = 0$
Представим десятичную дробь $2,6$ в виде обыкновенной: $2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$.
Уравнение примет вид:
$x^2 - \frac{13}{5}x + \frac{6}{5} = 0$
Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
$5x^2 - 13x + 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$a=5, b=-13, c=6$
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-13) + 7}{2 \cdot 5} = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2$
$x_2 = \frac{-(-13) - 7}{2 \cdot 5} = \frac{13 - 7}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Ответ: 2; $\frac{3}{5}$

в) Рассмотрим равенство $4x^2 = 7x + 7,5$.
Приведем его к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$4x^2 - 7x - 7,5 = 0$
Чтобы работать с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (4x^2 - 7x - 7,5) = 2 \cdot 0$
$8x^2 - 14x - 15 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант.
$a=8, b=-14, c=-15$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 196 + 480 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-14) + 26}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 26}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2} = 2,5$
$x_2 = \frac{-(-14) - 26}{2 \cdot 8} = \frac{14 - 26}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75$
Ответ: 2,5; -0,75

г) Рассмотрим равенство $6x^2 - 2 = x$.
Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся $x$ в левую часть:
$6x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение с целыми коэффициентами. Решим его с помощью дискриминанта.
$a=6, b=-1, c=-2$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{2}$

551. Существует ли такое значение а, при котором верно равенство (если существует, то найдите его):

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3a+0,6=9a^2+0,36 \\ 9a^2-3a+0,36-0,6=0 \\ 9a^2-3a-0,24=0 \\ D={(-3)}^2-4·9·(-0,24)=9+8,64=17,64>0 \\ a=\frac{3\pm \sqrt{17,64}}{18}, a=\frac{3\pm 4,2}{18} \\ \begin{array}{ccl}a=0,4& \text{или}& a=-\frac{1,2}{18}\\ & & a=-\frac{12}{180}\\ & & a=-\frac{1}{15}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{15}; 0,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 0,4a+1,2=0,16a^2+1,44 \\ 0,16a^2-0,4a+1,44-1,2=0 \\ 0,16a^2-0,4a+0,24=0 /·100 \\ 16a^2-40a+24=0 /:8 \\ 2a^2-5a+3=0 \\ D={(-5)}^2-4·2·3=25-24=1>0 \\ a=\frac{5\pm \sqrt{1}}{4}, a=\frac{5\pm 1}{4} \\ a=1,5 \text{или} a=1 \\ \text{Ответ:} 1; 1,5 \end{gathered}$$

а) $3a + 0,6 = 9a^2 + 0,36$

Для того чтобы определить, существует ли такое значение $a$, перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$.

$9a^2 - 3a + 0,36 - 0,6 = 0$

$9a^2 - 3a - 0,24 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=9$, $B=-3$, $C=-0,24$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-0,24) = 9 - 36 \cdot (-0,24) = 9 + 8,64 = 17,64$

Поскольку дискриминант $D = 17,64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что такое значение $a$ существует.

Найдем эти значения $a$ по формуле корней квадратного уравнения: $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{17,64} = 4,2$

$a_1 = \frac{-(-3) + 4,2}{2 \cdot 9} = \frac{3 + 4,2}{18} = \frac{7,2}{18} = 0,4$

$a_2 = \frac{-(-3) - 4,2}{2 \cdot 9} = \frac{3 - 4,2}{18} = \frac{-1,2}{18} = -\frac{12}{180} = -\frac{1}{15}$

Таким образом, существуют два значения $a$, при которых равенство верно.

Ответ: да, существует; $a = 0,4$ и $a = -1/15$.

б) $0,4a + 1,2 = 0,16a^2 + 1,44$

Аналогично пункту а), приведем уравнение к стандартному квадратному виду, перенеся все члены в правую часть.

$0,16a^2 - 0,4a + 1,44 - 1,2 = 0$

$0,16a^2 - 0,4a + 0,24 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей.

$16a^2 - 40a + 24 = 0$

Все коэффициенты делятся на 8, разделим уравнение на 8:

$2a^2 - 5a + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=2$, $B=-5$, $C=3$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Так как дискриминант $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, искомое значение $a$ существует.

Найдем корни уравнения: $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

$a_1 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$a_2 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Следовательно, существуют два значения $a$, удовлетворяющие данному равенству.

Ответ: да, существует; $a = 1,5$ и $a = 1$.

552. (Задача-исследование.) Решите уравнения:

1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).

2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² + bx + a = 0.

3) Докажите, что ваше предположение верно.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-5x+6=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·6=29-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}, x=\frac{5\pm 1}{2} \\ x=3 \text{или} x=2 \\ \text{Ответ:} 2; 3 \\ 6x^2-5x+1=0 \\ D={(-5)}^2-4·6·1=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{12}, x=\frac{5\pm 1}{12} \\ x=\frac{1}{2} \text{или} x=\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{2}; \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x^2-13x+6=0 \\ D={(-13)}^2-4·2·6=169-48=121>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{121}}{4}, x=\frac{13\pm 11}{4} \\ x=6; x=\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{2}; 6 \\ 6x^2-13x+2=0 \\ D={(-13)}^2-4·6·2=169-48=121>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{121}}{12}, x=\frac{13\pm 11}{12} \\ x=2 \text{или} x=\frac{1}{6} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{6}; 2 \end{gathered}$$

2) Если коэффициента a и c в квадратном уравнении поменять местами, то получим квадратное уравнение, корни которого взаимно обратны корням первого уравнения

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c=0 \\ D=b^2-4ac \\ {x}_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ {x}_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} c{x}^2+bx+a=0 \\ D=b^2-4ac \\ {x}_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c} \\ {x}_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}= \\ =\frac{-(b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}·\frac{-(b+\sqrt{b^2-4ac})}{2c}= \\ =\frac{b^2-{\left(\sqrt{b^2-4ac}\right)}^2}{2a·2c}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4ac}= \\ =\frac{b^2-b^2+4ac}{4ac}=1 \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}= \\ =\frac{-(b+\sqrt{b^2-4ac})}{2a}·\frac{-(b-\sqrt{b^2-4ac})}{2c}= \\ =\frac{b^2-{\left(\sqrt{b^2-4ac}\right)}^2}{2a·2c}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4ac}= \\ =\frac{b^2-b^2+4ac}{4ac}=1 \end{gathered}$$

1)

а) Решим первую пару уравнений.

Первое уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Второе уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Решим с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$: $2$ и $3$. Корни уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$: $1/3$ и $1/2$.

б) Решим вторую пару уравнений.

Первое уравнение: $2x^2 - 13x + 6 = 0$.
Решим с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 11}{4}$.
$x_1 = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Второе уравнение: $6x^2 - 13x + 2 = 0$.
Решим с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 11}{12}$.
$x_1 = \frac{13 - 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$x_2 = \frac{13 + 11}{12} = \frac{24}{12} = 2$.
Ответ: Корни уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$: $1/2$ и $6$. Корни уравнения $6x^2 - 13x + 2 = 0$: $1/6$ и $2$.

2)

Сравним результаты, полученные в пункте 1. Уравнения в каждой паре имеют вид $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$, то есть у них поменяны местами первый коэффициент и свободный член.
В паре а) корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $2$ и $3$. Корни уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$ равны $1/2$ и $1/3$.
В паре б) корни уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$ равны $1/2$ и $6$. Корни уравнения $6x^2 - 13x + 2 = 0$ равны $2$ и $1/6$.
В обоих случаях корни второго уравнения являются числами, обратными корням первого уравнения. Например, $1/2$ является обратным к $2$, а $1/3$ — обратным к $3$.

Выскажем предположение: если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \ne 0, c \ne 0$), то корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются обратные им числа $1/x_1$ и $1/x_2$.
Ответ: Корни уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются числами, обратными к корням уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

3)

Докажем наше предположение. Пусть $x_0$ — это некоторый корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получим верное числовое равенство: $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$.

По условию $a \ne 0$ и $c \ne 0$. Из $c \ne 0$ следует, что $x_0 \ne 0$. Действительно, если предположить, что $x_0 = 0$, то равенство примет вид $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$, откуда $c=0$, что противоречит условию. Так как $x_0 \ne 0$, для него существует обратное число $1/x_0$.

Проверим, будет ли число $y_0 = 1/x_0$ корнем уравнения $cy^2 + by + a = 0$. Для этого подставим $y_0$ в левую часть этого уравнения:
$c \cdot (1/x_0)^2 + b \cdot (1/x_0) + a$
Преобразуем выражение:
$\frac{c}{x_0^2} + \frac{b}{x_0} + a$
Приведем к общему знаменателю $x_0^2$ (это возможно, так как $x_0 \ne 0$):
$\frac{c + bx_0 + ax_0^2}{x_0^2}$

Поскольку $x_0$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, числитель полученной дроби $ax_0^2 + bx_0 + c$ равен нулю. Таким образом, все выражение равно:
$\frac{0}{x_0^2} = 0$

Мы получили, что $y_0 = 1/x_0$ удовлетворяет уравнению $cy^2 + by + a = 0$, а значит, является его корнем. Это доказывает, что каждому корню уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ соответствует обратный ему корень уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.
Ответ: Предположение доказано.

553. Существует ли такое значение а, при котором уравнение

x² – ax + a – 4 = 0:

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

$$\begin{gathered} x^2-ax+a-4=0 \\ D={(-a)}^2-4·1·(a-4)=a^2-4a+16 \\ x=\frac{a\pm \sqrt{a^2-4a+16}}{2a} \\ {x}_1=\frac{a+\sqrt{a^2-4a+16}}{2a} \\ {x}_2=\frac{a-\sqrt{a^2-4a+16}}{2a} \\ {a}^2-4a+16=a^2-4a+4+12={(a-2)}^2+12>0 \end{gathered}$$

при любом значении a

Значит, уравнение имеет два корня

a) не существует;

б) не существует;

в) a - любое число

Для решения данной задачи необходимо проанализировать дискриминант квадратного уравнения $x^2 - ax + a - 4 = 0$.

Квадратное уравнение имеет вид $Ax^2+Bx+C=0$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-a$, $C=a-4$.

Количество корней уравнения зависит от знака дискриминанта $D = B^2 - 4AC$.

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.
• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Вычислим дискриминант для данного уравнения:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = a^2 - 4a + 16$.

Чтобы проанализировать знак дискриминанта, представим выражение $a^2 - 4a + 16$ в виде полного квадрата:

$D = a^2 - 4a + 4 + 12 = (a - 2)^2 + 12$.

Поскольку выражение $(a - 2)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(a - 2)^2 \ge 0$) для любого действительного значения $a$, то минимальное значение дискриминанта $D$ достигается при $a=2$ и равно $12$. Таким образом, для любого значения $a$ дискриминант $D$ будет больше или равен $12$, то есть $D \ge 12$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

а) не имеет корней;

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$. Мы установили, что $D = (a-2)^2 + 12$, и его наименьшее значение равно $12$. Следовательно, дискриминант всегда положителен и никогда не может быть отрицательным. Значит, не существует такого значения $a$, при котором уравнение не имеет корней.

Ответ: нет, не существует.

б) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D = 0$. Нам нужно было бы решить уравнение $(a-2)^2 + 12 = 0$, или $(a-2)^2 = -12$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: нет, не существует.

в) имеет два корня?

Уравнение имеет два корня, если его дискриминант $D > 0$. Как мы показали, $D = (a-2)^2 + 12$. Поскольку $(a-2)^2 \ge 0$, то $D \ge 12$. Так как $12 > 0$, дискриминант всегда положителен при любом действительном значении $a$. Это означает, что для любого значения $a$ уравнение будет иметь два различных действительных корня.

Ответ: да, существует. Уравнение имеет два корня при любом действительном значении $a$.