Страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

527. Ширина земельного участка, имеющего форму прямоугольника, составляет 75% его длины, а его площадь равна 4800 м². Найдите длину забора, ограждающего этот участок.

Пусть x(м) - длина прямоугольника, тогда 0,75x(м) - ширина прямоугольника. Зная, что площадь прямоугольника равна 4800м², составим и решим уравнение

1) x*0,75x=4800

$$\begin{gathered} 0,75x^2=4800 \\ {x}^2=\frac{4800}{0,75} \\ {x}^2=6400 \end{gathered}$$

x=80 или x=-80 - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 0,75*80=60(м) - ширина

3) P=(60+80)*2=280(м)

Ответ: 280м

Пусть длина земельного участка, имеющего форму прямоугольника, равна $l$ метров, а его ширина – $w$ метров.

Из условия задачи известно, что ширина участка составляет 75% от его длины. Чтобы использовать это в расчетах, переведем проценты в десятичную дробь: $75\% = 0.75$.
Таким образом, мы можем записать соотношение между шириной и длиной как: $w = 0.75 \cdot l$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = l \cdot w$. По условию, площадь участка равна 4800 м?.
$l \cdot w = 4800$

Теперь мы можем составить уравнение с одной неизвестной, подставив выражение для ширины ($w = 0.75 \cdot l$) в формулу площади:
$l \cdot (0.75 \cdot l) = 4800$
$0.75 \cdot l^2 = 4800$

Решим это уравнение относительно длины $l$. Для этого разделим обе части уравнения на 0.75.
$l^2 = \frac{4800}{0.75}$
Удобнее работать с обыкновенными дробями. Так как $0.75 = \frac{3}{4}$, получим:
$l^2 = \frac{4800}{\frac{3}{4}} = 4800 \cdot \frac{4}{3} = 1600 \cdot 4 = 6400$
Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти длину:
$l = \sqrt{6400} = 80$ м.

Зная длину участка, мы можем найти его ширину:
$w = 0.75 \cdot l = 0.75 \cdot 80 = 60$ м.

Длина забора, ограждающего участок, равна его периметру. Периметр $P$ прямоугольника находится по формуле $P = 2 \cdot (l + w)$.
Подставим найденные значения длины и ширины:
$P = 2 \cdot (80 + 60) = 2 \cdot 140 = 280$ м.

Ответ: 280 м.

528. Телевизор имеет плоский экран прямоугольной формы. В паспорте к телевизору указано, что длина экрана относится к ширине как 4 : 3, а диагональ равна 25 дюймам. Найдите длину и ширину экрана в дюймах; в сантиметрах (1 дюйм = 2,54 см).

Пусть x дюймов - величина одной части, тогда 4x дюймов - длина экрана, 3x дюймов - ширина экрана. Зная, что диагональ экрана равна 25 дюймам, составим и решим уравнение

1) ${\left(4x\right)}^2+{\left(3x\right)}^2={25}^2$

$$\begin{gathered} 16x^2+9x^2={25}^2 \\ 25x^2={25}^2 \\ {x}^2=\frac{{25}^2}{25} \\ {x}^2=25 \end{gathered}$$

x=5 или x=-5 - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 4*5=20(д.) - длина

3*5=15(д.) - ширина

3) т.к. 1 дюйм ≈ 2,54см, то

20*2,54=50,8(см) - длина

15*2,54=38,1(см) - ширина

Ответ: 20 и 15 дюймов; 50,8см и 38,1см

в дюймах

Обозначим длину экрана как $l$, а ширину как $w$. Согласно условию задачи, соотношение длины и ширины экрана составляет 4:3. Это можно записать в виде пропорции:

$l : w = 4 : 3$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длина и ширина экрана будут равны:

$l = 4x$

$w = 3x$

Длина, ширина и диагональ прямоугольного экрана образуют прямоугольный треугольник, где длина и ширина являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l^2 + w^2 = d^2$

где $d$ — диагональ экрана. Из условия известно, что $d = 25$ дюймов. Подставим наши выражения для длины и ширины, а также значение диагонали в уравнение:

$(4x)^2 + (3x)^2 = 25^2$

Решим полученное уравнение:

$16x^2 + 9x^2 = 625$

$25x^2 = 625$

$x^2 = \frac{625}{25}$

$x^2 = 25$

$x = \sqrt{25} = 5$ (берем только положительное значение, так как речь идет о размерах).

Теперь найдем длину и ширину экрана в дюймах:

Длина: $l = 4x = 4 \cdot 5 = 20$ дюймов.

Ширина: $w = 3x = 3 \cdot 5 = 15$ дюймов.

Ответ: длина экрана — 20 дюймов, ширина экрана — 15 дюймов.

в сантиметрах

Для перевода размеров из дюймов в сантиметры воспользуемся данным в условии соотношением: 1 дюйм = 2,54 см.

Переведем длину экрана, равную 20 дюймам, в сантиметры:

$l_{см} = 20 \cdot 2,54 = 50,8$ см.

Переведем ширину экрана, равную 15 дюймам, в сантиметры:

$w_{см} = 15 \cdot 2,54 = 38,1$ см.

Ответ: длина экрана — 50,8 см, ширина экрана — 38,1 см.

529. В каких координатных четвертях расположен график функции:

a) $y=(1-\sqrt{2})x$ - линейная функция (прямая пропорциональность)

$k=1-\sqrt{2}=\sqrt{1}-\sqrt{2}<0$

Ответ: II и IV

б) $y=(4-\sqrt{15})x$

$k=4-\sqrt{15}=\sqrt{16}-\sqrt{15}>0$

Ответ: I и III

в) $y=(\sqrt{35}-5,7)x$

$k=\sqrt{35}-5,7=\sqrt{35}-\sqrt{32,49}>0$

Ответ: I и III

Все представленные функции имеют вид $y = kx$. Это линейные функции, графиками которых являются прямые, проходящие через начало координат (точку (0, 0)). Расположение графика такой функции в координатных четвертях зависит от знака углового коэффициента $k$.

• Если $k > 0$, то график функции расположен в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, то график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

Для решения задачи необходимо определить знак коэффициента $k$ для каждой функции.

а) $y = (1 - \sqrt{2})x$

Коэффициент в этой функции $k = 1 - \sqrt{2}$. Чтобы определить его знак, необходимо сравнить числа $1$ и $\sqrt{2}$. Возведем оба положительных числа в квадрат:

$1^2 = 1$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Поскольку $1 < 2$, то $1 < \sqrt{2}$. Следовательно, разность $1 - \sqrt{2}$ является отрицательным числом, то есть $k < 0$. Так как угловой коэффициент отрицательный, график функции расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.

б) $y = (4 - \sqrt{15})x$

Коэффициент $k = 4 - \sqrt{15}$. Чтобы определить его знак, сравним числа $4$ и $\sqrt{15}$. Возведем оба положительных числа в квадрат:

$4^2 = 16$

$(\sqrt{15})^2 = 15$

Поскольку $16 > 15$, то $4 > \sqrt{15}$. Следовательно, разность $4 - \sqrt{15}$ является положительным числом, то есть $k > 0$. Так как угловой коэффициент положительный, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

в) $y = (\sqrt{35} - 5,7)x$

Коэффициент $k = \sqrt{35} - 5{,}7$. Чтобы определить его знак, сравним числа $\sqrt{35}$ и $5{,}7$. Возведем оба положительных числа в квадрат:

$(\sqrt{35})^2 = 35$

$(5{,}7)^2 = 32{,}49$

Поскольку $35 > 32{,}49$, то $\sqrt{35} > 5{,}7$. Следовательно, разность $\sqrt{35} - 5{,}7$ является положительным числом, то есть $k > 0$. Так как угловой коэффициент положительный, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

530. Найдите значение выражения 9 + 6x + x²x + 3 + x при x = 0,36 и при x = 49.

$\frac{9+6x+x^2}{x+3}+\sqrt{x}=\frac{{(x+3)}^2}{x+3}+\sqrt{x}=x+3+\sqrt{x}$

при x=0,36; $0,36+3+\sqrt{0,36}=3,36+0,6=3,96$

при x=49; $49+3+\sqrt{49}=52+7=59$

Сначала упростим данное выражение. Для этого заметим, что числитель дроби $9 + 6x + x^2$ представляет собой полный квадрат.

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, мы можем переписать числитель:

$9 + 6x + x^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + x^2 = (3+x)^2$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{(x+3)^2}{x+3} + \sqrt{x}$

Область определения выражения задается условием $x \ge 0$ из-за наличия $\sqrt{x}$. При таких значениях $x$ знаменатель $x+3$ всегда больше нуля ($x+3 \ge 3$), поэтому мы можем сократить дробь без ограничений.

$\frac{(x+3)^2}{x+3} + \sqrt{x} = x+3 + \sqrt{x}$

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значения для заданных $x$.

при x = 0,36

Подставим значение $x = 0,36$ в упрощенное выражение $x+3 + \sqrt{x}$:

$0,36 + 3 + \sqrt{0,36} = 3,36 + 0,6 = 3,96$

Ответ: 3,96

при x = 49

Подставим значение $x = 49$ в упрощенное выражение $x+3 + \sqrt{x}$:

$49 + 3 + \sqrt{49} = 52 + 7 = 59$

Ответ: 59