Страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

495. Сократите дробь:

a) $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{x}-\sqrt{y^2}\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^3-{\left(\sqrt{y}\right)}^3}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}= \\ =x+\sqrt{xy}+y \end{gathered}$$

б) $\frac{2\sqrt{2}-x\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x}=\frac{\sqrt{4}\sqrt{2}-\sqrt{x^2}\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{x^3}}{2+\sqrt{2x}+x}=$

$$\begin{gathered} =\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^3-{\left(\sqrt{x}\right)}^3}{2+\sqrt{2x}+x}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{x})(2+\sqrt{2x}+x)}{2+\sqrt{2x}+x}= \\ =\sqrt{2}-\sqrt{x} \end{gathered}$$

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$, преобразуем её числитель. Заметим, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$. Следовательно, мы можем переписать числитель следующим образом:

$x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$

$y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^2 \cdot \sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$

Таким образом, числитель представляет собой разность кубов: $(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

При условии, что $x \ge 0, y \ge 0$ и $\sqrt{x} \neq \sqrt{y}$ (то есть $x \neq y$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$.

После сокращения остается: $x + \sqrt{xy} + y$.

Ответ: $x + \sqrt{xy} + y$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x}$, также преобразуем числитель. Заметим, что:

$2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$

$x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$

Числитель является разностью кубов: $(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3$.

Снова используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{x}$.

Получаем:

$(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3 = (\sqrt{2} - \sqrt{x})((\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)$

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x}$

Знаменатель $2 + \sqrt{2x} + x$ совпадает с одним из множителей в числителе. При области допустимых значений $x \ge 0$, знаменатель всегда больше нуля, поэтому мы можем сократить дробь на выражение $(2 + \sqrt{2x} + x)$.

В результате сокращения получаем: $\sqrt{2} - \sqrt{x}$.

Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{x}$.

496. Сократите дробь:

a) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}\sqrt{a}+\sqrt{b^2}\sqrt{b}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{{\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{b}\right)}^3}= \\ =\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}=\frac{1}{a-\sqrt{ab}+b} \end{gathered}$$

б) $\frac{a-\sqrt{3a}+3}{a\sqrt{a}+3\sqrt{3}}=\frac{a-\sqrt{3a}+3}{\sqrt{a^2}\sqrt{a}+\sqrt{9}\sqrt{3}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a-\sqrt{3a}+3}{{\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{3}\right)}^3}=\frac{a-\sqrt{3a}+3}{(\sqrt{a}+\sqrt{3})(a-\sqrt{3a}+3)}= \\ =\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{3}} \end{gathered}$$

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} $, преобразуем ее знаменатель.

Заметим, что $ a = (\sqrt{a})^2 $ и $ b = (\sqrt{b})^2 $. Тогда знаменатель можно представить в следующем виде:
$ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{b})^2 \cdot \sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 $.

Полученное выражение является суммой кубов. Воспользуемся формулой разложения суммы кубов: $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $.

Применив эту формулу к нашему знаменателю, где $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{b} $, получим:
$ (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b) $.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в исходную дробь:
$ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} $.

Сократим общий множитель $ (\sqrt{a} + \sqrt{b}) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{1}{a - \sqrt{ab} + b} $.

Ответ: $ \frac{1}{a - \sqrt{ab} + b} $

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}} $, преобразуем ее знаменатель, используя тот же подход, что и в предыдущем пункте.

Представим знаменатель в виде суммы кубов.
$ a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 $.
$ 3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^3 $.
Следовательно, знаменатель равен: $ a\sqrt{a} + 3\sqrt{3} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3 $.

Используем формулу суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $, где $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{3} $:
$ (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{3})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3) $.

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)} $.

Мы видим, что числитель дроби совпадает с одним из множителей в знаменателе. Сократим этот общий множитель $ (a - \sqrt{3a} + 3) $:
$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} $.

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}} $

497. Сократите дробь:

a) $\frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{35·2}-\sqrt{15·2}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=$

$=\frac{\sqrt{35}·\sqrt{2}-\sqrt{15}·\sqrt{2}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{35}-\sqrt{15})}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=\sqrt{2}$

б) $\frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5·3}-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{\sqrt{3·2}-\sqrt{5·2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{5}·\sqrt{3}-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{\sqrt{3}·\sqrt{2}-\sqrt{5}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}= \\ =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{2,5} \end{gathered}$$

в) $\frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}=\frac{3·3-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}·\sqrt{2}-2\sqrt{2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{3·{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}(3\sqrt{3}-2)}=\frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3}-2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3}-2)}= \\ =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{1,5} \end{gathered}$$

г) $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}-\sqrt{2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{4}·\sqrt{3}+\sqrt{9}\sqrt{2}-\sqrt{2}·\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{2}·\sqrt{3}-\sqrt{2}}= \\ =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{4}+\sqrt{3}·\sqrt{2}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)}= \\ =\frac{\sqrt{3}·\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

а) $\frac{\sqrt{70} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}}$

Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители, вынеся общие множители из-под знаков корня.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{10}$:

$\sqrt{70} - \sqrt{30} = \sqrt{10 \cdot 7} - \sqrt{10 \cdot 3} = \sqrt{10}\sqrt{7} - \sqrt{10}\sqrt{3} = \sqrt{10}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{5}$:

$\sqrt{35} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}\sqrt{7} - \sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{10}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) $\frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Представим число $5$ как $\sqrt{25}$ или $\sqrt{5}\sqrt{5}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{5}$:

$\sqrt{15} - 5 = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5}\sqrt{3} - \sqrt{5}\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{2}$:

$\sqrt{6} - \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{5} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{3} - \sqrt{5})$:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Для приведения к стандартному виду избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

в) $\frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}$

Для сокращения дроби необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе.

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки $\sqrt{2}$:

$3\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3 \cdot 2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3}\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)$.

Теперь преобразуем числитель. Попробуем выделить в нем множитель $(3\sqrt{3} - 2)$. Для этого представим $9$ как $3 \cdot 3 = \sqrt{3}\sqrt{3} \cdot 3$ и вынесем $\sqrt{3}$ за скобки:

$9 - 2\sqrt{3} = 3 \cdot 3 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)}$

Сократим общий множитель $(3\sqrt{3} - 2)$:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

г) $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Попробуем найти связь между числителем и знаменателем. Заметим, что если умножить знаменатель на $\sqrt{3}$, то получится:

$\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{6} - \sqrt{3}\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + \sqrt{18} - \sqrt{6}$

Упростим полученное выражение, зная что $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$:

$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$

Это выражение в точности совпадает с числителем исходной дроби. Следовательно, числитель можно представить как произведение знаменателя на $\sqrt{3}$.

Запишем дробь, подставив это разложение в числитель:

$\frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Сократим общий множитель $(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$, который не равен нулю:

$\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

498. Сократите дробь:

a) $\frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}·\sqrt{2}-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{2^2-\sqrt{5}·\sqrt{2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{2·{\left(\sqrt{2}\right)}^2-\sqrt{5}·\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}= \\ =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{2,5} \end{gathered}$$

б) $\frac{{(\sqrt{10}-1)}^2-3}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1}=\frac{{(\sqrt{10}-1)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1}=$

$=\frac{(\sqrt{10}-1-\sqrt{3})(\sqrt{10}-1+\sqrt{3})}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1}=\sqrt{10}-1-\sqrt{3}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{2\sqrt{10} - 5}{4 - \sqrt{10}}$, преобразуем ее числитель, вынеся за скобки общий множитель.

Заметим, что числитель $2\sqrt{10} - 5$ можно представить в виде $\frac{\sqrt{10}}{2}(4 - \sqrt{10})$. Проверим это, раскрыв скобки в полученном выражении:

$\frac{\sqrt{10}}{2}(4 - \sqrt{10}) = \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot 4 - \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10} - \frac{10}{2} = 2\sqrt{10} - 5$.

Тождество верно. Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}(4 - \sqrt{10})}{4 - \sqrt{10}}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(4 - \sqrt{10})$, так как он не равен нулю ($4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{16} \neq \sqrt{10}$).

После сокращения получаем:

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{(\sqrt{10} - 1)^2 - 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$, преобразуем ее числитель.

Представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$. Тогда выражение в числителе примет вид разности квадратов:

$(\sqrt{10} - 1)^2 - (\sqrt{3})^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{10} - 1$ и $b = \sqrt{3}$:

$((\sqrt{10} - 1) - \sqrt{3})((\sqrt{10} - 1) + \sqrt{3}) = (\sqrt{10} - 1 - \sqrt{3})(\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3})$

Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы один из множителей совпал со знаменателем:

$(\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)$

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1)$, так как он не равен нулю. В результате получим:

$\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$

Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$

499. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}+a}{a}$

б) $\frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}}=\frac{(x-\sqrt{ax})\sqrt{x}}{a\sqrt{x}·\sqrt{x}}=\frac{x\sqrt{x}-x\sqrt{a}}{ax}=$

$=\frac{x(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{ax}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{a}$

в) $\frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}}=\frac{(2\sqrt{3}-3)\sqrt{3}}{5\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{2·3-3\sqrt{3}}{5·3}=$

$=\frac{3(2-\sqrt{3})}{5·3}=\frac{2-\sqrt{3}}{5}$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}} $, умножим числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{a} $. При этом мы предполагаем, что $ a > 0 $.

$ \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{(1+\sqrt{a}) \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{a}+a}{a} $.

В полученной дроби знаменатель равен $ a $, то есть не содержит знака корня.

Ответ: $ \frac{\sqrt{a}+a}{a} $

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}} $, умножим ее числитель и знаменатель на множитель $ \sqrt{x} $. Предполагается, что $ a \neq 0 $ и $ x > 0 $.

$ \frac{x-\sqrt{ax}}{a\sqrt{x}} = \frac{(x-\sqrt{ax}) \cdot \sqrt{x}}{a\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{ax} \cdot \sqrt{x}}{a(\sqrt{x})^2} = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{ax^2}}{ax} $.

Так как $ x > 0 $, то $ \sqrt{x^2}=x $. Следовательно, числитель можно упростить: $ x\sqrt{x} - x\sqrt{a} $. Вынесем общий множитель $ x $ за скобки: $ x(\sqrt{x}-\sqrt{a}) $.

Теперь вся дробь имеет вид $ \frac{x(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{ax} $. Сократим дробь на $ x $ (так как $ x \neq 0 $):

$ \frac{x(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{ax} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{a} $.

Знаменатель полученной дроби равен $ a $, то есть является рациональным выражением.

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{a} $

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $.

$ \frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3}-3) \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{5(\sqrt{3})^2} = \frac{2 \cdot 3 - 3\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{6-3\sqrt{3}}{15} $.

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки: $ 6-3\sqrt{3} = 3(2-\sqrt{3}) $.

Получим дробь $ \frac{3(2-\sqrt{3})}{15} $. Сократим числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3(2-\sqrt{3})}{15} = \frac{2-\sqrt{3}}{5} $.

Знаменатель полученной дроби равен 5, иррациональность устранена.

Ответ: $ \frac{2-\sqrt{3}}{5} $

500. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{(y+b\sqrt{y})\sqrt{y}}{b\sqrt{y}·\sqrt{y}}=\frac{y\sqrt{y}+by}{by}=$

$=\frac{y(\sqrt{y}+b)}{by}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}$

б) $\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=$

$=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

в) $\frac{2-(\sqrt{2}-3)}{4\sqrt{2}}=\frac{(2-3\sqrt{2})\sqrt{2}}{4·\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}-3·2}{4·2}=$

$=\frac{2(\sqrt{2}-3)}{4·2}=\frac{\sqrt{2}-3}{4}$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} $, нужно умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение $ \sqrt{y} $. При этом будем считать, что $ y > 0 $ и $ b \neq 0 $ согласно области определения выражения.

Выполним умножение:

$ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{(y + b\sqrt{y}) \cdot \sqrt{y}}{(b\sqrt{y}) \cdot \sqrt{y}} $

Раскроем скобки в числителе и упростим знаменатель:

$ \frac{y \cdot \sqrt{y} + b\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{b(\sqrt{y})^2} = \frac{y\sqrt{y} + by}{by} $

Вынесем в числителе общий множитель $ y $ за скобки и сократим дробь:

$ \frac{y(\sqrt{y} + b)}{by} = \frac{\sqrt{y} + b}{b} $

Другой способ решения — почленное деление числителя на знаменатель. Так как $ y = (\sqrt{y})^2 $:

$ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{y}{b\sqrt{y}} + \frac{b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{y})^2}{b\sqrt{y}} + 1 = \frac{\sqrt{y}}{b} + 1 = \frac{\sqrt{y} + b}{b} $

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Знаменатель полученного выражения не содержит иррациональности.

Ответ: $ \frac{\sqrt{y} + b}{b} $.

б) Рассмотрим дробь $ \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} $. Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{ab} $. Предполагается, что $ a > 0 $ и $ b > 0 $.

Выполним умножение:

$ \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab}}{(\sqrt{ab}) \cdot \sqrt{ab}} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{ab})^2 = ab $

Упростим числитель, используя свойство $ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $:

$ (a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) \cdot \sqrt{ab} = a\sqrt{b}\sqrt{ab} + b\sqrt{a}\sqrt{ab} = a\sqrt{ab^2} + b\sqrt{a^2b} = a(b\sqrt{a}) + b(a\sqrt{b}) = ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b} $

Получаем дробь:

$ \frac{ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b}}{ab} $

Вынесем в числителе общий множитель $ ab $ за скобки и сократим дробь:

$ \frac{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{ab} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

В качестве альтернативного способа можно было разложить числитель на множители, учитывая, что $ a = (\sqrt{a})^2 $, $ b = (\sqrt{b})^2 $ и $ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $:

$ a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $

Тогда исходная дробь легко сокращается:

$ \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

Ответ: $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $.

в) Дана дробь $ \frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} $. Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.

Выполним преобразование:

$ \frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{(2 - 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{(4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (2 - 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 3 \cdot 2 = 2\sqrt{2} - 6 $

Упростим знаменатель:

$ 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 $

Получим дробь:

$ \frac{2\sqrt{2} - 6}{8} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$ \frac{2(\sqrt{2} - 3)}{8} = \frac{\sqrt{2} - 3}{4} $

Знаменатель полученного выражения стал рациональным числом.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - 3}{4} $.

501. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(x-\sqrt{xy}+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^3+{\left(\sqrt{y}\right)}^3}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-y}$

б) $\frac{9+3\sqrt{a}+a}{3+\sqrt{a}}=\frac{(9+3\sqrt{a}+a)(3-\sqrt{a})}{(3+\sqrt{a})(3-\sqrt{a})}=$

$=\frac{3^3-{\left(\sqrt{a}\right)}^3}{3^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2}=\frac{27-a\sqrt{a}}{9-a}$

в) $\frac{1-2\sqrt{x}+4x}{1-2\sqrt{x}}=\frac{(1-2\sqrt{x}+4x)(1+2\sqrt{x})}{(1-2\sqrt{x})(1+2\sqrt{x})}=$

$=\frac{1^3+{\left(2\sqrt{x}\right)}^3}{1^2-(2\sqrt{x{)}^2}}=\frac{1+8x\sqrt{x}}{1-4x}$

г) $\frac{a^{2}b+2a\sqrt{b}+4}{a\sqrt{b}+2}=\frac{(a^{2}b+2a\sqrt{b}+4)(a\sqrt{b}-2)}{(a\sqrt{b}+2)(a\sqrt{b}-2)}=$

$=\frac{{\left(a\sqrt{b}\right)}^3-2^3}{{\left(a\sqrt{b}\right)}^2-2^2}=\frac{a^{3}b\sqrt{b}-8}{a^{2}b-4}$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ является $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.

$\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(x - \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$.

Преобразуем числитель. Если обозначить $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, то выражение в первой скобке примет вид $a^2 - ab + b^2$, а во второй $a+b$. Их произведение $(a^2 - ab + b^2)(a+b)$ является формулой суммы кубов $a^3+b^3$.
Таким образом, числитель равен $(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$.

В результате получаем дробь:
$\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x-y}$

Ответ: $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x-y}$.

б) Для дроби $\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}}$ сопряженным к знаменателю $3 + \sqrt{a}$ является выражение $3 - \sqrt{a}$. Умножим на него числитель и знаменатель.

$\frac{(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 - \sqrt{a})}{(3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a})}$

Знаменатель: $(3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a}) = 3^2 - (\sqrt{a})^2 = 9 - a$.

Числитель: $(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 - \sqrt{a})$. Можно заметить, что это выражение вида $(k^2 + kb + b^2)(k-b)$, где $k=3$ и $b=\sqrt{a}$. Это является формулой разности кубов $k^3-b^3$.
Следовательно, числитель равен $3^3 - (\sqrt{a})^3 = 27 - a\sqrt{a}$.

Итоговая дробь:
$\frac{27 - a\sqrt{a}}{9 - a}$

Ответ: $\frac{27 - a\sqrt{a}}{9 - a}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}}$. Сначала можно упростить ее, выделив целую часть:

$\frac{(1 - 2\sqrt{x}) + 4x}{1 - 2\sqrt{x}} = \frac{1 - 2\sqrt{x}}{1 - 2\sqrt{x}} + \frac{4x}{1 - 2\sqrt{x}} = 1 + \frac{4x}{1 - 2\sqrt{x}}$

Теперь освободимся от иррациональности в знаменателе второго слагаемого. Сопряженное к $1 - 2\sqrt{x}$ есть $1 + 2\sqrt{x}$.

$\frac{4x(1 + 2\sqrt{x})}{(1 - 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x})} = \frac{4x + 8x\sqrt{x}}{1^2 - (2\sqrt{x})^2} = \frac{4x + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}$

Подставим полученное выражение обратно и приведем к общему знаменателю:

$1 + \frac{4x + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x} = \frac{1 - 4x}{1 - 4x} + \frac{4x + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x} = \frac{1 - 4x + 4x + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x} = \frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}$

Ответ: $\frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}$.

г) Для дроби $\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}$ сопряженным к знаменателю $a\sqrt{b} + 2$ является $a\sqrt{b} - 2$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} - 2)}{(a\sqrt{b} + 2)(a\sqrt{b} - 2)}$

Знаменатель: $(a\sqrt{b} + 2)(a\sqrt{b} - 2) = (a\sqrt{b})^2 - 2^2 = a^2b - 4$.

Числитель: $(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} - 2)$. Если обозначить $k = a\sqrt{b}$ и $m = 2$, то числитель принимает вид $(k^2+km+m^2)(k-m)$, что является формулой разности кубов $k^3 - m^3$.
Таким образом, числитель равен $(a\sqrt{b})^3 - 2^3 = a^3b\sqrt{b} - 8$.

В результате получаем дробь:
$\frac{a^3b\sqrt{b} - 8}{a^2b - 4}$

Ответ: $\frac{a^3b\sqrt{b} - 8}{a^2b - 4}$.

502. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:

a) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2}{x+\sqrt{xy}}=\frac{x-y}{x+\sqrt{xy}}$

б) $\frac{a+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}}=\frac{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a-\sqrt{b})}=\frac{a^2-b}{a^2\sqrt{b}-ab}$

в) $\frac{7-\sqrt{a}}{49-7\sqrt{a}+a}=\frac{(7-\sqrt{a})(7+\sqrt{a})}{(49-7\sqrt{a}+a)(7+\sqrt{a})}=$

$=\frac{7^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{7^3+{\left(\sqrt{a}\right)}^3}=\frac{49-a}{343+a\sqrt{a}}$

г) $\frac{\sqrt{mn}+1}{mn+\sqrt{mn}+1}=\frac{(\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)}{(mn+\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{mn}\right)}^2-1^2}{{\left(\sqrt{mn}\right)}^3-1^3}=\frac{mn-1}{mn\sqrt{mn}-1}$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}}$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение $\sqrt{x} + \sqrt{y}$, сопряженное числителю. При преобразовании числителя используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$$ \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{x - y}{x + \sqrt{xy}} $$

Ответ: $\frac{x - y}{x + \sqrt{xy}}$.

б) В дроби $\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}}$ числитель равен $a + \sqrt{b}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное ему выражение $a - \sqrt{b}$.

$$ \frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \frac{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a - \sqrt{b})} $$ Применяя формулу разности квадратов к числителю и раскрывая скобки в знаменателе, получаем: $$ \frac{a^2 - (\sqrt{b})^2}{a\sqrt{b} \cdot a - a\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b} - ab} $$

Ответ: $\frac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b} - ab}$.

в) Чтобы избавиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{7 - \sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a}$, умножим ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $7 + \sqrt{a}$.

$$ \frac{(7 - \sqrt{a})(7 + \sqrt{a})}{(49 - 7\sqrt{a} + a)(7 + \sqrt{a})} $$ Числитель преобразуется по формуле разности квадратов в $7^2 - (\sqrt{a})^2 = 49 - a$. Знаменатель же является произведением сомножителей из формулы суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$, где $A=7$ и $B=\sqrt{a}$. Следовательно, знаменатель равен $7^3 + (\sqrt{a})^3 = 343 + a\sqrt{a}$.
Итоговая дробь: $$ \frac{49 - a}{343 + a\sqrt{a}} $$

Ответ: $\frac{49 - a}{343 + a\sqrt{a}}$.

г) Для дроби $\frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $\sqrt{mn} - 1$.

$$ \frac{(\sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} - 1)}{(mn + \sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} - 1)} $$ Числитель преобразуется по формуле разности квадратов в $(\sqrt{mn})^2 - 1^2 = mn - 1$. Знаменатель является произведением из формулы разности кубов $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3$, где $A=\sqrt{mn}$ и $B=1$. Следовательно, знаменатель равен $(\sqrt{mn})^3 - 1^3 = mn\sqrt{mn} - 1$.
Итоговая дробь: $$ \frac{mn - 1}{mn\sqrt{mn} - 1} $$

Ответ: $\frac{mn - 1}{mn\sqrt{mn} - 1}$.