Номер 502, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 502, страница 113.

502. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:

a) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2}{x+\sqrt{xy}}=\frac{x-y}{x+\sqrt{xy}}$

б) $\frac{a+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}}=\frac{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a-\sqrt{b})}=\frac{a^2-b}{a^2\sqrt{b}-ab}$

в) $\frac{7-\sqrt{a}}{49-7\sqrt{a}+a}=\frac{(7-\sqrt{a})(7+\sqrt{a})}{(49-7\sqrt{a}+a)(7+\sqrt{a})}=$

$=\frac{7^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{7^3+{\left(\sqrt{a}\right)}^3}=\frac{49-a}{343+a\sqrt{a}}$

г) $\frac{\sqrt{mn}+1}{mn+\sqrt{mn}+1}=\frac{(\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)}{(mn+\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{mn}\right)}^2-1^2}{{\left(\sqrt{mn}\right)}^3-1^3}=\frac{mn-1}{mn\sqrt{mn}-1}$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}}$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение $\sqrt{x} + \sqrt{y}$, сопряженное числителю. При преобразовании числителя используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$$ \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{x - y}{x + \sqrt{xy}} $$

Ответ: $\frac{x - y}{x + \sqrt{xy}}$.

б) В дроби $\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}}$ числитель равен $a + \sqrt{b}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное ему выражение $a - \sqrt{b}$.

$$ \frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \frac{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a - \sqrt{b})} $$ Применяя формулу разности квадратов к числителю и раскрывая скобки в знаменателе, получаем: $$ \frac{a^2 - (\sqrt{b})^2}{a\sqrt{b} \cdot a - a\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b} - ab} $$

Ответ: $\frac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b} - ab}$.

в) Чтобы избавиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{7 - \sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a}$, умножим ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $7 + \sqrt{a}$.

$$ \frac{(7 - \sqrt{a})(7 + \sqrt{a})}{(49 - 7\sqrt{a} + a)(7 + \sqrt{a})} $$ Числитель преобразуется по формуле разности квадратов в $7^2 - (\sqrt{a})^2 = 49 - a$. Знаменатель же является произведением сомножителей из формулы суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$, где $A=7$ и $B=\sqrt{a}$. Следовательно, знаменатель равен $7^3 + (\sqrt{a})^3 = 343 + a\sqrt{a}$.
Итоговая дробь: $$ \frac{49 - a}{343 + a\sqrt{a}} $$

Ответ: $\frac{49 - a}{343 + a\sqrt{a}}$.

г) Для дроби $\frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $\sqrt{mn} - 1$.

$$ \frac{(\sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} - 1)}{(mn + \sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} - 1)} $$ Числитель преобразуется по формуле разности квадратов в $(\sqrt{mn})^2 - 1^2 = mn - 1$. Знаменатель является произведением из формулы разности кубов $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3$, где $A=\sqrt{mn}$ и $B=1$. Следовательно, знаменатель равен $(\sqrt{mn})^3 - 1^3 = mn\sqrt{mn} - 1$.
Итоговая дробь: $$ \frac{mn - 1}{mn\sqrt{mn} - 1} $$

Ответ: $\frac{mn - 1}{mn\sqrt{mn} - 1}$.