Номер 506, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 506, страница 114.

506. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{1}{x+x\sqrt{y}}+\frac{1}{x-x\sqrt{y}}\right)·\frac{y-1}{2}=$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{1}{x(1+\sqrt{y})}+\frac{1}{x(1-\sqrt{y})}\right)·\frac{y-1}{2}= \\ =\left(\frac{1-\sqrt{y}}{x(1+\sqrt{y})(1-\sqrt{y})}+\frac{1+\sqrt{y}}{x(1-\sqrt{y})(1+\sqrt{y})}\right)\times \\ \times \frac{y-1}{2}=\left(\frac{1-\sqrt{y}}{x(1-y)}+\frac{1+\sqrt{y}}{x(1-y)}\right)·\frac{y-1}{2}= \\ =\frac{1-\sqrt{y}+1+\sqrt{y}}{x(1-y)}·\frac{-(1-y)}{2}=-\frac{2}{x·2}=-\frac{1}{x} \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)·\frac{{(6-a)}^2}{2}=$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}-\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}\right)\times \\ \times \frac{{(b-a)}^2}{2}=\left(\frac{\sqrt{ab}+a}{a-b}-\frac{a-\sqrt{ab}}{a-b}\right)·\frac{{(b-a)}^2}{2}= \\ =\frac{a+\sqrt{ab}-a+\sqrt{ab}}{a-b}·\frac{{(a-b)}^2}{2}= \\ =\frac{2\sqrt{ab}(a-b)}{2}=\sqrt{ab}(a-b) \end{gathered}$$

а)

Дано выражение $(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} + \frac{1}{x-x\sqrt{y}}) \cdot \frac{y-1}{2}$.
1. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала вынесем $x$ за скобки в знаменателях дробей:
$\frac{1}{x(1+\sqrt{y})} + \frac{1}{x(1-\sqrt{y})}$
Общим знаменателем является $x(1+\sqrt{y})(1-\sqrt{y})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, преобразуем знаменатель:
$x(1+\sqrt{y})(1-\sqrt{y}) = x(1^2 - (\sqrt{y})^2) = x(1-y)$.
Теперь сложим дроби:
$\frac{1 \cdot (1-\sqrt{y})}{x(1-y)} + \frac{1 \cdot (1+\sqrt{y})}{x(1-y)} = \frac{1-\sqrt{y} + 1+\sqrt{y}}{x(1-y)} = \frac{2}{x(1-y)}$.
2. Умножим полученное выражение на дробь $\frac{y-1}{2}$:
$\frac{2}{x(1-y)} \cdot \frac{y-1}{2}$.
Заметим, что $y-1 = -(1-y)$. Подставим это в наше выражение:
$\frac{2}{x(1-y)} \cdot \frac{-(1-y)}{2}$.
3. Сократим общие множители. Сокращаем $2$ в числителе и знаменателе, а также $(1-y)$:
$\frac{\cancel{2}}{x\cancel{(1-y)}} \cdot \frac{-\cancel{(1-y)}}{\cancel{2}} = \frac{-1}{x} = -\frac{1}{x}$.
Область допустимых значений: $x \ne 0, y \ge 0, y \ne 1$.

Ответ: $-\frac{1}{x}$.

б)

Дано выражение $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}) \cdot \frac{(b-a)^2}{2}$.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. По формуле разности квадратов это равно $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a+\sqrt{ab} - (a-\sqrt{ab})}{a-b} = \frac{a+\sqrt{ab} - a+\sqrt{ab}}{a-b} = \frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$.
2. Умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{2\sqrt{ab}}{a-b} \cdot \frac{(b-a)^2}{2}$.
Так как $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$, можем переписать выражение следующим образом:
$\frac{2\sqrt{ab}}{a-b} \cdot \frac{(a-b)^2}{2}$.
3. Сократим общие множители $2$ и $(a-b)$:
$\frac{\cancel{2}\sqrt{ab}}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}} = \sqrt{ab}(a-b)$.
Область допустимых значений: $a \ge 0, b \ge 0, a \ne b$.

Ответ: $\sqrt{ab}(a-b)$.