Номер 513, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 513, страница 118.

513. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 4x^2-9=0 \\ (2x-3)(2x+3)=0 \\ \begin{array}{lcl}2x-3=0& \text{или}& 2x+3=0\\ 2x=3& & 2x=-3\\ x=1,5& & x=-1,5\end{array} \\ \text{Ответ:} -1,5 \text{и} 1,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -x^2+3=0 \\ {x}^2-3=0 \\ {x}^2=3 \\ {x}_1=\sqrt{3} \\ {x}_2=-\sqrt{3} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{3} \text{и} \sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -0,1x^2+10=0 \\ 0,1x^2-10=0 \\ 0,1x^2=10 \\ {x}^2=\frac{10}{0,1} \\ {x}^2=100 \\ x=10 \text{или} x=-10 \\ \text{Ответ:} -10; 10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^2-\frac{1}{9}=0 \\ \left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y+\frac{1}{3}\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-\frac{1}{3}=0& \text{или}& y+\frac{1}{3}=0\\ y=\frac{1}{3}& & y=-\frac{1}{3}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{3}; \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 6v^2+24=0 \\ 6v^2=-24 \\ {v}^2=-4 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 3m^2-1=0 \\ 3m^2=1 \\ {m}^2=\frac{1}{3} \\ m=\frac{1}{\sqrt{3}} \text{или} m=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{\sqrt{3}} \text{и }\frac{1}{\sqrt{3}} \text{или} -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

а) $4x^2 - 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$4x^2 = 9$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:

$x^2 = \frac{9}{4}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня, так как $\frac{9}{4} > 0$:

$x_1 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1,5$

$x_2 = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5; 1,5$.

б) $-x^2 + 3 = 0$

Перенесем член с переменной в правую часть уравнения:

$3 = x^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{3}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

в) $-0,1x^2 + 10 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-0,1x^2 = -10$

Разделим обе части на $-0,1$:

$x^2 = \frac{-10}{-0,1}$

$x^2 = 100$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{100}$

$x_1 = 10$ и $x_2 = -10$

Ответ: $-10; 10$.

г) $y^2 - \frac{1}{9} = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$y^2 = \frac{1}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$

$y_1 = \frac{1}{3}$ и $y_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

д) $6v^2 + 24 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$6v^2 = -24$

Разделим обе части на 6:

$v^2 = \frac{-24}{6}$

$v^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

е) $3m^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$3m^2 = 1$

Разделим обе части на 3:

$m^2 = \frac{1}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$m = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$

Можно представить ответ в виде $m = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ или избавиться от иррациональности в знаменателе:

$m = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.