Номер 520, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 520, страница 119.

520. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} (x+3)(x-4)=-12 \\ {x}^2-4x+3x-12+12=0 \\ {x}^2-x=0 \\ x(x-1)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-1=0\\ & & x=1\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 1\frac{2}{3}t+(2t+1)\left(\frac{1}{3}t-1\right)=0 \\ 1\frac{2}{3}t+\frac{2}{3}{t}^2-2t+\frac{1}{3}t-1=0 \\ \frac{2}{3}{t}^2-1=0 /·3 \\ 2t^2-3=0 \\ 2t^2=3 \\ {t}^2=1,5 \\ \begin{array}{ccc}t=\sqrt{1,5}& \text{или}& t=-\sqrt{1,5}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{1,5}; \sqrt{1,5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3x(2x+3)=2x(x+4,5)+2 \\ 6x^2+9x=2x^2+9x+2 \\ 6x^2+9x-2x^2-9x-2=0 \\ 4x^2-2=0 \\ 2(2x^2-1)=0 \\ 2x^2-1=0 \\ 2x^2=1 \\ {x}^2=\frac{1}{2} \\ \begin{array}{lcl}x=\sqrt{\frac{1}{2}}& \text{или}& x=-\sqrt{\frac{1}{2}}\\ x=\frac{\sqrt{2}}{2}& & x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} (x-1)(x+1)=2(x^2-3) \\ {x}^2-1=2x^2-6 \\ {x}^2-1-2x^2+6=0 \\ -x^2+5=0 \\ {x}^2-5=0 \\ {x}^2=5 \\ \begin{array}{ccc}x=-\sqrt{5}& \text{или}& x=\sqrt{5}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{5}; \sqrt{5} \end{gathered}$$

а) $(x+3)(x-4) = -12$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя правило умножения многочленов:

$x \cdot x + x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) = -12$

$x^2 - 4x + 3x - 12 = -12$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - x - 12 = -12$

Перенесем свободный член из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 - x - 12 + 12 = 0$

$x^2 - x = 0$

Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 1 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$x_2 = 1$

Ответ: $0; 1$

б) $1\frac{2}{3}t + (2t+1)(\frac{1}{3}t - 1) = 0$

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Теперь раскроем скобки в произведении $(2t+1)(\frac{1}{3}t - 1)$:

$\frac{5}{3}t + (2t \cdot \frac{1}{3}t + 2t \cdot (-1) + 1 \cdot \frac{1}{3}t + 1 \cdot (-1)) = 0$

$\frac{5}{3}t + \frac{2}{3}t^2 - 2t + \frac{1}{3}t - 1 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{5}{3}t - 2t + \frac{1}{3}t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{5}{3}t - \frac{6}{3}t + \frac{1}{3}t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + \frac{5-6+1}{3}t - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + 0 \cdot t - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 - 1 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$\frac{2}{3}t^2 = 1$

$t^2 = 1 \cdot \frac{3}{2}$

$t^2 = \frac{3}{2}$

$t = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$t = \pm\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2}$

в) $3x(2x+3) = 2x(x+4,5) + 2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 2x \cdot x + 2x \cdot 4,5 + 2$

$6x^2 + 9x = 2x^2 + 9x + 2$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$6x^2 + 9x - 2x^2 - 9x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 2x^2) + (9x - 9x) - 2 = 0$

$4x^2 - 2 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$4x^2 = 2$

$x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $(x-1)(x+1) = 2(x^2 - 3)$

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части раскроем скобки.

$x^2 - 1^2 = 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 3$

$x^2 - 1 = 2x^2 - 6$

Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения:

$0 = 2x^2 - x^2 - 6 + 1$

$x^2 - 5 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 5$

$x = \pm\sqrt{5}$

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$