Номер 522, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 522, страница 119.

522. Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Пусть x и x+1 - два последовательных целых чисел. Зная, что их произведение в 1,5 раза больше x², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x(x+1)=1,5x^2 \\ {x}^2+x-1,5x^2=0 \\ x-0,5x^2=0 \\ x(1-0,5x)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 1-0,5x=0\\ & & 0,5x=1\\ & & x=1\end{array} \end{gathered}$$

x=0 не удовлетворяет условию задачи, так 0*1 должно быть в 1,5 раза больше, чем 0², и это неверно

Значит, x=2; 2+1=3

Ответ: 2 и 3

Пусть меньшее из двух последовательных целых чисел равно $n$. Тогда следующее за ним целое число будет $n+1$.

Согласно условию задачи, произведение этих чисел, которое равно $n(n+1)$, в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них, то есть $n^2$. Это можно выразить с помощью уравнения:

$n(n+1) = 1,5 \cdot n^2$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:

$n^2 + n = 1,5n^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$1,5n^2 - n^2 - n = 0$

$0,5n^2 - n = 0$

Для решения вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(0,5n - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения для $n$:

1) $n_1 = 0$

2) $0,5n - 1 = 0$

Решим второе уравнение:

$0,5n = 1$

$n_2 = \frac{1}{0,5} = 2$

Мы нашли два возможных значения для меньшего числа. Теперь найдем соответствующие им пары последовательных чисел.

Если меньшее число $n = 0$, то следующее число $n+1 = 0+1 = 1$. Таким образом, первая пара чисел — это 0 и 1.

Проверка для пары (0, 1): произведение $0 \cdot 1 = 0$. Квадрат меньшего числа $0^2 = 0$. Равенство $0 = 1,5 \cdot 0$ является верным.

Если меньшее число $n = 2$, то следующее число $n+1 = 2+1 = 3$. Таким образом, вторая пара чисел — это 2 и 3.

Проверка для пары (2, 3): произведение $2 \cdot 3 = 6$. Квадрат меньшего числа $2^2 = 4$. Равенство $6 = 1,5 \cdot 4$ является верным ($6=6$).

Следовательно, существуют две пары чисел, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 0 и 1; 2 и 3.