Номер 518, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 518, страница 119.

518. Найдите значения переменной a, при которых:

а) значение выражения 5a² + 5a – 6 равно 24;

б) значение выражения a(a – 4) равно 60.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5a^2+5a-6=24 \\ 5a^2+5a=30 \\ 5(a^2+a)=30 \\ {a}^2+a=6 \\ {a}^2+a-6=0 \\ {a}^2+3a-2a-6=0 \\ (a^2+3a)-(2a+6)=0 \\ a(a+3)-2(a+3)=0 \\ (a+3)(a-2)=0 \\ \begin{array}{lcl}a+3=0& \text{или}& a-2=0\\ a=-3& & a=2\end{array} \\ \text{Ответ:} -3; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} a(a-4)=60 \\ {a}^2-4a-60=0 \\ {a}^2-10a+6a-60=0 \\ (a^2-10a)+(6a-60)=0 \\ a(a-10)+6(a-10)=0 \\ (a-10)(a+6)=0 \\ \begin{array}{lcl}a-10=0& \text{или}& a+6=0\\ a=10& & a=-6\end{array} \\ \text{Ответ:} -6; 10 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значения переменной $a$, при которых значение выражения $5a^2 + 5a - 6$ равно 24, необходимо составить и решить уравнение:

$5a^2 + 5a - 6 = 24$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5a^2 + 5a - 6 - 24 = 0$

$5a^2 + 5a - 30 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 5:

$a^2 + a - 6 = 0$

Теперь решим полученное приведенное квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, выражение равно 24 при $a=2$ и $a=-3$.

Ответ: -3; 2.

б) Чтобы найти значения переменной $a$, при которых значение выражения $a(a - 4)$ равно 60, составим и решим уравнение:

$a(a - 4) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$a^2 - 4a = 60$

$a^2 - 4a - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Найдем корни уравнения по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$a_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Следовательно, выражение равно 60 при $a=10$ и $a=-6$.

Ответ: -6; 10.