Номер 518, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

518. Найдите значения переменной a, при которых:

а) значение выражения 5a² + 5a – 6 равно 24;

б) значение выражения a(a – 4) равно 60.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5a^2+5a-6=24 \\ 5a^2+5a=30 \\ 5(a^2+a)=30 \\ {a}^2+a=6 \\ {a}^2+a-6=0 \\ {a}^2+3a-2a-6=0 \\ (a^2+3a)-(2a+6)=0 \\ a(a+3)-2(a+3)=0 \\ (a+3)(a-2)=0 \\ \begin{array}{lcl}a+3=0& \text{или}& a-2=0\\ a=-3& & a=2\end{array} \\ \text{Ответ:} -3; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} a(a-4)=60 \\ {a}^2-4a-60=0 \\ {a}^2-10a+6a-60=0 \\ (a^2-10a)+(6a-60)=0 \\ a(a-10)+6(a-10)=0 \\ (a-10)(a+6)=0 \\ \begin{array}{lcl}a-10=0& \text{или}& a+6=0\\ a=10& & a=-6\end{array} \\ \text{Ответ:} -6; 10 \end{gathered}$$

518. Найдем значения переменной $a$:

а) По условию значение выражения $5a^2 + 5a - 6$ равно $24$:
$$5a^2 + 5a - 6 = 24$$
Перенесем число $24$ в левую часть уравнения:
$$5a^2 + 5a - 6 - 24 = 0$$
$$5a^2 + 5a - 30 = 0$$
Разделим обе части уравнения на $5$:
$$a^2 + a - 6 = 0$$
Разложим левую часть на множители способом группировки или выделим полный квадрат (или с помощью теоремы Виета, если она уже изучалась, либо разведем слагаемое $a$ на $3a - 2a$):
$$a^2 + 3a - 2a - 6 = 0$$
$$a(a + 3) - 2(a + 3) = 0$$
$$(a + 3)(a - 2) = 0$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$a + 3 = 0 \quad \text{или} \quad a - 2 = 0$$
$$a = -3 \quad \text{или} \quad a = 2$$

б) По условию значение выражения $a(a - 4)$ равно $60$:
$$a(a - 4) = 60$$
Раскроем скобки и перенесем $60$ в левую часть:
$$a^2 - 4a - 60 = 0$$
Представим коэффициент $-4a$ в виде $-10a + 6a$:
$$a^2 - 10a + 6a - 60 = 0$$
Вынесем общий множитель за скобки для группировки:
$$a(a - 10) + 6(a - 10) = 0$$
$$(a - 10)(a + 6) = 0$$
Произведение равно нулю, если:
$$a - 10 = 0 \quad \text{или} \quad a + 6 = 0$$
$$a = 10 \quad \text{или} \quad a = -6$$

**Ответ:**
а) $a_1 = -3$, $a_2 = 2$;
б) $a_1 = 10$, $a_2 = -6$.