Номер 525, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 525, страница 119.

525. Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км?

Пусть через tч расстояние между ними окажется равным 16км, тогда

$$\begin{gathered} {\left(5t\right)}^2+{\left(4t\right)}^2={16}^2 \\ 25t^2+16t^2=256 \\ 41t^2=256 \\ {t}^2=\frac{256}{41} \end{gathered}$$
$t=\frac{16}{\sqrt{41}} \text{или\hspace{0.17em}}t=-\frac{16}{\sqrt{41}}$ - не удовлетворяет условию задачи t>0

$t=\frac{16}{\sqrt{41}}\approx 2,5\text{ч}$

Ответ: через ≈2,5ч

Обозначим искомое время через $t$ (в часах).

Первая группа туристов движется на север со скоростью $v_1 = 4$ км/ч. За время $t$ она пройдет расстояние $S_1$, равное: $S_1 = v_1 \cdot t = 4t$ км.

Вторая группа туристов движется на запад со скоростью $v_2 = 5$ км/ч. За то же время $t$ она пройдет расстояние $S_2$, равное: $S_2 = v_2 \cdot t = 5t$ км.

Так как направления движения групп (север и запад) взаимно перпендикулярны, то их пути образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между группами в момент времени $t$ будет гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае расстояние между группами $S = 16$ км. $S_1^2 + S_2^2 = S^2$

Подставим в формулу выражения для $S_1$, $S_2$ и значение $S$: $(4t)^2 + (5t)^2 = 16^2$

Решим полученное уравнение относительно $t$: $16t^2 + 25t^2 = 256$ $41t^2 = 256$ $t^2 = \frac{256}{41}$

Поскольку время не может быть отрицательным, извлекаем положительный квадратный корень: $t = \sqrt{\frac{256}{41}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{41}} = \frac{16}{\sqrt{41}}$

Таким образом, расстояние между туристами станет равным 16 км через $\frac{16}{\sqrt{41}}$ часа.

Ответ: $\frac{16}{\sqrt{41}}$ ч.