Номер 519, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 519, страница 119.

519. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 4x^2-3x+7=2x^2+x+7 \\ 4x^2-3x+7-2x^2-x-7=0 \\ 2x^2-4x=0 \\ 2x(x-2)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-2=0\\ & & x=2\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -5y^2+8y+8=8y+3 \\ -5y^2+8y+8-8y-3=0 \\ -5y^2+5=0 \\ -5(y^2-1)=0 \\ {y}^2-1=0 \\ (y-1)(y+1)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-1=0& \text{или}& y+1=0\\ y=1& & y=-1\end{array} \\ \text{Ответ:} -1; 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 10-3x^2=x^2+10-x \\ 10-3x^2-x^2-10+x=0 \\ -4x^2+x=0 \\ -x(4x-1)=0 \\ \begin{array}{lcl}-x=0& \text{или}& 4x-1=0\\ x=0& & 4x=1\\ & & x=\frac{1}{4}\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; \frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 1-2y+3y^2=y^2-2y+1 \\ 1-2y+3y^2-y^2+2y-1=0 \\ 2y^2=0 \\ {y}^2=0 \\ y=0 \\ \text{Ответ:} 0 \end{gathered}$$

а) $4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7$
Для решения уравнения перенесем все его члены в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$.
$4x^2 - 3x + 7 - 2x^2 - x - 7 = 0$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 2x^2) + (-3x - x) + (7 - 7) = 0$
$2x^2 - 4x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:
$2x = 0$ или $x - 2 = 0$
Из первого уравнения получаем: $x_1 = 0$.
Из второго уравнения получаем: $x_2 = 2$.
Ответ: 0; 2.

б) $-5y^2 + 8y + 8 = 8y + 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$-5y^2 + 8y + 8 - 8y - 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые. Члены $8y$ и $-8y$ взаимно уничтожаются.
$-5y^2 + (8 - 3) = 0$
$-5y^2 + 5 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$-5y^2 = -5$
Разделим обе части уравнения на -5:
$y^2 = 1$
Чтобы найти $y$, извлечем квадратный корень из обеих частей. Не забываем про два корня: положительный и отрицательный.
$y = \pm\sqrt{1}$
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$
Ответ: -1; 1.

в) $10 - 3x^2 = x^2 + 10 - x$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону. Удобнее перенести все в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным.
$0 = x^2 + 3x^2 - x + 10 - 10$
Приведем подобные слагаемые:
$0 = 4x^2 - x$
Или, что то же самое:
$4x^2 - x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $4x - 1 = 0$
Из первого уравнения получаем корень: $x_1 = 0$.
Из второго уравнения: $4x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{4}$.
Ответ: 0; 1/4.

г) $1 - 2y + 3y^2 = y^2 - 2y + 1$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$1 - 2y + 3y^2 - y^2 + 2y - 1 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(3y^2 - y^2) + (-2y + 2y) + (1 - 1) = 0$
$2y^2 + 0 + 0 = 0$
$2y^2 = 0$
Разделим обе части на 2:
$y^2 = 0$
Извлекая квадратный корень, получаем единственный корень:
$y = 0$
Ответ: 0.