Номер 521, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 521, страница 119.

521. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-5=(x+5)(2x-1) \\ {x}^2-5=2x^2-x+10x-5 \\ {x}^2-2x^2-9x=-5+5 \\ -x^2-9x=0 \\ -x(x+9)=0 \\ \begin{array}{lcl}-x=0& \text{или}& x+9=0\\ x=0& & x=-9\end{array} \\ \text{Ответ:} -9; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x-{(x+1)}^2=3x^2-6 \\ 2x-(x^2+2x+1)=3x^2-6 \\ 2x-x^2-2x-1-3x^2=-6 \\ -4x^2=-6+1 \\ -4x^2=-5 \\ {x}^2=\frac{5}{4} \\ x=-\frac{\sqrt{5}}{2} \text{или} x=\frac{\sqrt{5}}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 6a^2-{(a+2)}^2=-4(a-4) \\ 6a^2-(a^2+4a+4)=-4a+16 \\ 6a^2-a^2-4a-4+4a=16 \\ 5a^2=16+4 \\ 5a^2=20 \\ {a}^2=4 \\ a=2 \text{или} a=-2 \\ \text{Ответ:} -2; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} (5y+2)(y-3)=-13(2+y) \\ 5y^2-15y+2y-6=-26-13y \\ 5y^2-13y+13y=-26+6 \\ 5y^2=-20 \\ {y}^2=-4 \\ \text{Ответ: корней нет} \end{gathered}$$

а) $x^2 - 5 = (x + 5)(2x - 1)$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, перемножив многочлены:

$(x + 5)(2x - 1) = x \cdot 2x + x \cdot (-1) + 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-1) = 2x^2 - x + 10x - 5 = 2x^2 + 9x - 5$

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 5 = 2x^2 + 9x - 5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5 - 2x^2 - 9x + 5 = 0$

Приведем подобные члены:

$-x^2 - 9x = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$x^2 + 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x + 9 = 0$

Решая второе уравнение, получаем $x = -9$.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $-9; 0$.

б) $2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 6$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

Подставим это в уравнение:

$2x - (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 - 6$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$2x - x^2 - 2x - 1 = 3x^2 - 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 - 1 = 3x^2 - 6$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = 3x^2 + x^2 - 6 + 1$

$4x^2 - 5 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:

$4x^2 = 5$

$x^2 = \frac{5}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{5}{4}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}$.

в) $6a^2 - (a + 2)^2 = -4(a - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон:

$6a^2 - (a^2 + 4a + 4) = -4a + 16$

Раскроем скобки в левой части:

$6a^2 - a^2 - 4a - 4 = -4a + 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5a^2 - 4a - 4 = -4a + 16$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5a^2 - 4a - 4 + 4a - 16 = 0$

Приведем подобные члены:

$5a^2 - 20 = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:

$5a^2 = 20$

$a^2 = \frac{20}{5}$

$a^2 = 4$

$a = \pm\sqrt{4}$

$a = \pm 2$

Ответ: $-2; 2$.

г) $(5y + 2)(y - 3) = -13(2 + y)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5y \cdot y + 5y \cdot (-3) + 2 \cdot y + 2 \cdot (-3) = -13 \cdot 2 - 13 \cdot y$

$5y^2 - 15y + 2y - 6 = -26 - 13y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5y^2 - 13y - 6 = -26 - 13y$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5y^2 - 13y - 6 + 26 + 13y = 0$

Приведем подобные члены:

$5y^2 + 20 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$5y^2 = -20$

$y^2 = -\frac{20}{5}$

$y^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.