Номер 516, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Неполные квадратные уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 516, страница 119.

516. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2+3x=0 \\ x(2x+3)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 2x+3=0\\ & & 2x=-3\\ & & x=-1,5\end{array} \\ \text{Ответ:} -1,5; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3x^2-2=0 \\ 3x^2=2 \\ {x}^2=\frac{2}{3} \\ \begin{array}{lcl}x=\sqrt{\frac{2}{3}}& \text{или}& x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\\ x=\frac{\sqrt{6}}{3}& & x=-\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 5u^2-4u=0 \\ u(5u-4)=0 \\ \begin{array}{ccl}u=0& \text{или}& 5u-4=0\\ & & 5u=4\\ & & u=0,8\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 0,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 7a-14a^2=0 \\ 7a(1-2a)=0 \\ \begin{array}{ccl}a=0& \text{или}& 1-2a=0\\ & & 2a=1\\ & & a=0,5\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 0,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 1-4y^2=0 \\ (1-2y)(1+2y)=0 \\ \begin{array}{lcl}1-2y=0& \text{или}& 1+2y=0\\ 2y=1& & 2y=-1\\ y=0,5& & y=-0,5\end{array} \\ \text{Ответ:} -0,5; 0,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 2x^2-6=0 \\ 2x^2=6 \\ {x}^2=3 \\ x=\sqrt{3} \text{или} x=-\sqrt{3} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{3}; \sqrt{3} \end{gathered}$$

а) $2x^2 + 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член ($c=0$). Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни:

1) $x = 0$

2) $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $x_1 = 0; x_2 = -1.5$.

б) $3x^2 - 2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует член с первой степенью переменной ($b=0$). Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$3x^2 = 2$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$:

$x^2 = \frac{2}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 3, или домножим дробь на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$:

$x = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

в) $5u^2 - 4u = 0$

Это неполное квадратное уравнение ($c=0$). Вынесем общий множитель $u$ за скобки:

$u(5u - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $u = 0$

2) $5u - 4 = 0 \implies 5u = 4 \implies u = \frac{4}{5} = 0.8$

Ответ: $u_1 = 0; u_2 = 0.8$.

г) $7a - 14a^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение ($c=0$). Вынесем общий множитель $7a$ за скобки:

$7a(1 - 2a) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $7a = 0 \implies a = 0$

2) $1 - 2a = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $a_1 = 0; a_2 = 0.5$.

д) $1 - 4y^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение ($b=0$). Можно решить его, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$1^2 - (2y)^2 = 0$

$(1 - 2y)(1 + 2y) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $1 - 2y = 0 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2} = 0.5$

2) $1 + 2y = 0 \implies 2y = -1 \implies y = -\frac{1}{2} = -0.5$

Ответ: $y_1 = -0.5; y_2 = 0.5$.

е) $2x^2 - 6 = 0$

Это неполное квадратное уравнение ($b=0$). Перенесем свободный член в правую часть и разделим на 2:

$2x^2 = 6$

$x^2 = \frac{6}{2}$

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}$.