Номер 509, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 509, страница 114.

509. Постройте график функции y =x - 4x + 2.

$y=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}.$

Область определения функции: x≥0

$y=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2}; y=\sqrt{x}-2$

График функции $y=\sqrt{x}-2$ получаем из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом его на 2 единицы вниз вдоль оси y

Для построения графика функции $y = \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}$ необходимо сначала найти ее область определения, а затем упростить ее выражение.

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
Знаменатель дроби $\sqrt{x} + 2$ не должен быть равен нулю. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} + 2 \ge 2$. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — это все $x \ge 0$, или $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Упрощение функции.

Заметим, что числитель $x - 4$ можно разложить на множители как разность квадратов, если представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$.
$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.
Теперь подставим это выражение в исходную функцию:
$y = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2}$.
Поскольку на всей области определения знаменатель $\sqrt{x} + 2$ не равен нулю, мы можем сократить на него дробь:
$y = \sqrt{x} - 2$.

3. Построение графика.

Итак, на всей своей области определения исходная функция совпадает с функцией $y = \sqrt{x} - 2$.
График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вниз вдоль оси ординат Oy.
Для построения найдем несколько ключевых точек:
- при $x = 0$, $y = \sqrt{0} - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$ – точка начала графика.
- при $x = 1$, $y = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
- при $x = 4$, $y = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(4, 0)$ – точка пересечения с осью абсцисс Ox.
- при $x = 9$, $y = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(9, 1)$.
Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(0, -2)$ и направленная вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}$ является графиком функции $y = \sqrt{x} - 2$. Это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещенным на 2 единицы вниз. График начинается в точке $(0, -2)$ и проходит через точки $(1, -1)$, $(4, 0)$, $(9, 1)$ и так далее.