Номер 507, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 507, страница 114.

507. Докажите, что значение выражения

при 0 ≤ b ≤ 49 не зависит от b.

$$\begin{gathered} \sqrt{b+49-14\sqrt{b}}+\sqrt{b+49+14\sqrt{b}}= \\ =\sqrt{{(\sqrt{b}-7)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{b}+7)}^2}= \\ =\left|\sqrt{b}-7\right|+\left|\sqrt{b}+7\right|=-\sqrt{b}+7+\sqrt{b}+7=14 \end{gathered}$$

при $0\le b\le 49; 0\le \sqrt{b}\le 7$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $b$ при $0 \le b \le 49$, необходимо упростить данное выражение.

Исходное выражение: $\sqrt{b + 49 - 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}}$.

Рассмотрим подкоренные выражения. Их можно преобразовать, заметив, что они являются полными квадратами. Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$ и $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.

Для первого подкоренного выражения $b + 49 - 14\sqrt{b}$: Перепишем его как $(\sqrt{b})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} + 7^2$. Это соответствует формуле квадрата разности $( \sqrt{b} - 7 )^2$.

Для второго подкоренного выражения $b + 49 + 14\sqrt{b}$: Перепишем его как $(\sqrt{b})^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} + 7^2$. Это соответствует формуле квадрата суммы $( \sqrt{b} + 7 )^2$.

Теперь подставим полученные полные квадраты обратно в исходное выражение: $\sqrt{( \sqrt{b} - 7 )^2} + \sqrt{( \sqrt{b} + 7 )^2}$

Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда выражение примет вид: $| \sqrt{b} - 7 | + | \sqrt{b} + 7 |$

Теперь необходимо раскрыть модули, учитывая условие $0 \le b \le 49$. Возьмем квадратный корень из всех частей этого неравенства: $\sqrt{0} \le \sqrt{b} \le \sqrt{49}$ $0 \le \sqrt{b} \le 7$

1. Раскроем первый модуль $| \sqrt{b} - 7 |$. Так как $0 \le \sqrt{b} \le 7$, то выражение $\sqrt{b} - 7$ будет меньше или равно нулю ($\sqrt{b} - 7 \le 0$). По определению модуля, $|a| = -a$, если $a \le 0$. Следовательно, $| \sqrt{b} - 7 | = -(\sqrt{b} - 7) = 7 - \sqrt{b}$.

2. Раскроем второй модуль $| \sqrt{b} + 7 |$. Так как $\sqrt{b} \ge 0$, то сумма $\sqrt{b} + 7$ всегда будет положительной. По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$. Следовательно, $| \sqrt{b} + 7 | = \sqrt{b} + 7$.

Подставим раскрытые модули в выражение: $(7 - \sqrt{b}) + (\sqrt{b} + 7)$

Упростим, приведя подобные слагаемые: $7 - \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14$

В результате упрощения мы получили число 14, которое является константой и не зависит от значения переменной $b$. Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от $b$ при $0 \le b \le 49$.

Ответ: значение выражения равно 14, что является постоянной величиной и не зависит от $b$.