Страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

503. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1)(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2-1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{2+2\sqrt{6}+3-1}= \\ =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{4+2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{2(2+\sqrt{6})}= \\ =\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{6})}{2(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})}= \\ =\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{12}+2\sqrt{3}-\sqrt{18}-2+\sqrt{6}}{2(4-6)}= \\ =\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-2+\sqrt{6}}{-4}= \\ =\frac{-\sqrt{2}-2+\sqrt{6}}{-4}=\frac{-(2+\sqrt{2}-\sqrt{6})}{-4}= \\ =\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{gathered}$$

б) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3}+2)(\sqrt{5}-\sqrt{3}-2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}^2-4}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{5-2\sqrt{15}+3-4}= \\ =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{4-2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-2}{2(2-\sqrt{15})}= \\ =\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3}-2)(2+\sqrt{15})}{2(2-\sqrt{15})(2+\sqrt{15})}= \\ =\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{75}-2\sqrt{3}-\sqrt{45}-4-2\sqrt{15}}{2(4-15)}= \\ =\frac{2\sqrt{5}+5\sqrt{3}-2\sqrt{3}-3\sqrt{5}-4-2\sqrt{15}}{2·(-11)}= \\ =\frac{-\sqrt{5}+3\sqrt{3}-4-2\sqrt{15}}{-22}= \\ =\frac{-(\sqrt{5}-3\sqrt{3}+4+2\sqrt{15})}{-22}= \\ =\frac{\sqrt{5}-3\sqrt{3}+4+2\sqrt{15}}{22} \end{gathered}$$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо последовательно домножать числитель и знаменатель на сопряженные выражения до тех пор, пока в знаменателе не останется рациональное число. Основной прием — использование формулы разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Рассмотрим дробь:

$$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1} $$

Сгруппируем слагаемые в знаменателе следующим образом: $(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3}$. Сопряженным к этому выражению будет $(\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3}$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$$ \frac{1 \cdot ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3})}{((\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3}) \cdot ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3})} $$

Раскроем скобки в знаменателе по формуле разности квадратов:

$$ ((\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3}) \cdot ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 3 = 3 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2} $$

Теперь дробь имеет вид:

$$ \frac{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $$

В знаменателе осталась иррациональность $\sqrt{2}$. Чтобы избавиться от нее, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$$ \frac{(\sqrt{2} + 1 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 1 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $$

Ответ: $$ \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $$

б) Решим второй пример по аналогии с первым.

Исходная дробь:

$$ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3} + 2} $$

Перегруппируем знаменатель, чтобы было удобно применить формулу разности квадратов: $(\sqrt{5} + 2) - \sqrt{3}$. Сопряженным к нему будет выражение $(\sqrt{5} + 2) + \sqrt{3}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$$ \frac{1 \cdot ((\sqrt{5} + 2) + \sqrt{3})}{((\sqrt{5} + 2) - \sqrt{3}) \cdot ((\sqrt{5} + 2) + \sqrt{3})} $$

Упростим знаменатель:

$$ ((\sqrt{5} + 2) - \sqrt{3}) \cdot ((\sqrt{5} + 2) + \sqrt{3}) = (\sqrt{5} + 2)^2 - (\sqrt{3})^2 = (5 + 4\sqrt{5} + 4) - 3 = 9 + 4\sqrt{5} - 3 = 6 + 4\sqrt{5} $$

Дробь принимает вид:

$$ \frac{\sqrt{5} + 2 + \sqrt{3}}{6 + 4\sqrt{5}} $$

Теперь нужно избавиться от иррациональности в новом знаменателе $6 + 4\sqrt{5}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное ему выражение $6 - 4\sqrt{5}$:

$$ \frac{(\sqrt{5} + 2 + \sqrt{3}) \cdot (6 - 4\sqrt{5})}{(6 + 4\sqrt{5}) \cdot (6 - 4\sqrt{5})} $$

Вычислим новый знаменатель:

$$ (6 + 4\sqrt{5})(6 - 4\sqrt{5}) = 6^2 - (4\sqrt{5})^2 = 36 - 16 \cdot 5 = 36 - 80 = -44 $$

Вычислим новый числитель, перемножив скобки:

$$ (\sqrt{5} + 2 + \sqrt{3})(6 - 4\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} - 4(\sqrt{5})^2 + 12 - 8\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} $$

$$ = 6\sqrt{5} - 20 + 12 - 8\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} = -8 - 2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} $$

Соберем дробь:

$$ \frac{-8 - 2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15}}{-44} $$

Можно упростить полученное выражение, разделив числитель и знаменатель на -2:

$$ \frac{-2(4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15})}{-2 \cdot 22} = \frac{4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22} $$

Ответ: $$ \frac{4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22} $$

504. При каком значении х дробь x - 2x - 2 принимает наибольшее значение?

Дробь имеет смысл при x≥0.

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем знаменателе. Знаменатель дроби $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$ будет наименьшим при x=0, т.к. x≥0. Значит, сама дробь $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$ принимает наибольшее значение при x=0

Ответ: при x=0

Чтобы найти, при каком значении $x$ дробь принимает наибольшее значение, рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x-2 \ne 0$, что означает $x \ne 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [0, 2) \cup (2, +\infty)$.

Далее, упростим выражение дроби. Знаменатель $x-2$ можно представить в виде разности квадратов, если заметить, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$:
$x - 2 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})$.

Теперь подставим это разложение в исходную дробь:
$f(x) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$.

Так как по ОДЗ $x \ne 2$, то $\sqrt{x} \ne \sqrt{2}$, и, следовательно, выражение $\sqrt{x}-\sqrt{2}$ не равно нулю. Это позволяет нам сократить дробь на $(\sqrt{x}-\sqrt{2})$:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ на её области определения.

Дробь, у которой числитель — постоянное положительное число (в нашем случае 1), принимает наибольшее значение тогда, когда её знаменатель принимает наименьшее значение. Знаменатель нашей дроби — это выражение $\sqrt{x}+\sqrt{2}$.

Рассмотрим знаменатель $g(x) = \sqrt{x}+\sqrt{2}$. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей для всех $x \ge 0$. Поскольку $\sqrt{2}$ является постоянной величиной, функция $g(x)$ также монотонно возрастает на всей своей области определения $x \ge 0$.

Возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левой границе своей области определения. В нашем случае ОДЗ для $x$ это $[0, 2) \cup (2, +\infty)$. Наименьшее возможное значение $x$ из этой области — это $x=0$.

Таким образом, знаменатель $\sqrt{x}+\sqrt{2}$ достигает своего минимума при $x=0$. Следовательно, и вся дробь $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ при $x=0$ принимает свое наибольшее значение.

Ответ: 0.

505. Упростите выражение:

a) $15\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{160}=\sqrt{225}·\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{160}=\sqrt{225·\frac{2}{5}}-$

$$\begin{gathered} -\sqrt{160}=\sqrt{45·2}-\sqrt{160}=\sqrt{90}-\sqrt{160}= \\ =\sqrt{9·10}-\sqrt{16·10}=3\sqrt{10}-4\sqrt{10}=-\sqrt{10} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{135}+10\sqrt{0,6}=\sqrt{135}+\sqrt{100}·\sqrt{0,6}=\sqrt{135}+ \\ +\sqrt{60}=\sqrt{9·15}+\sqrt{4·15}=3\sqrt{15}+2\sqrt{15}=5\sqrt{15} \end{gathered}$$

в) $6\sqrt{1\frac{1}{3}}-\sqrt{27}=\sqrt{36}·\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{27}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{36·\frac{4}{3}}-\sqrt{27}=\sqrt{48}-\sqrt{27}= \\ =\sqrt{16·3}-\sqrt{9·3}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

г) $0,5\sqrt{24}+10\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{24}+\sqrt{100}·\sqrt{\frac{3}{8}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{1}{4}}·\sqrt{24}+\sqrt{100·\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}·24}+\sqrt{\frac{25·3}{2}}= \\ =\sqrt{6}+\frac{\sqrt{25}·\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\frac{5·\sqrt{3}·\sqrt{2}}{2}= \\ =\sqrt{6}+\frac{5\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}+2,5\sqrt{6}=3,5\sqrt{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160}$, нужно привести оба члена к общему виду $k\sqrt{a}$.
Упростим первый член, внеся множитель под знак корня или избавившись от иррациональности в знаменателе. Используем второй способ: $15\sqrt{\frac{2}{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 3\sqrt{10}$.
Упростим второй член, вынеся множитель из-под знака корня. Разложим 160 на множители: $160 = 16 \cdot 10$. Тогда $\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное: $3\sqrt{10} - 4\sqrt{10} = (3-4)\sqrt{10} = -\sqrt{10}$.
Ответ: $-\sqrt{10}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{135} + 10\sqrt{0,6}$.
Упростим первый член, вынеся множитель из-под корня: $135 = 9 \cdot 15$, следовательно $\sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$.
Упростим второй член. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Тогда $10\sqrt{0,6} = 10\sqrt{\frac{3}{5}}$. Внесем 10 под корень: $\sqrt{100 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{20 \cdot 3} = \sqrt{60}$. Теперь вынесем множитель из-под корня: $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
Сложим полученные выражения: $3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = (3+2)\sqrt{15} = 5\sqrt{15}$.
Ответ: $5\sqrt{15}$

в) Рассмотрим выражение $6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$.
Упростим первый член. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда $6\sqrt{1\frac{1}{3}} = 6\sqrt{\frac{4}{3}} = 6 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = 6 \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$.
Упростим второй член: $27 = 9 \cdot 3$, значит $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Выполним вычитание: $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

г) Рассмотрим выражение $0,5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}}$.
Упростим первый член: $0,5 = \frac{1}{2}$. $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Тогда $0,5\sqrt{24} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$.
Упростим второй член: $10\sqrt{\frac{3}{8}}$. Чтобы избавиться от дроби под корнем, домножим числитель и знаменатель на 2: $10\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}} = 10\sqrt{\frac{6}{16}} = 10 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{16}} = 10 \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{5}{2}\sqrt{6} = 2,5\sqrt{6}$.
Сложим полученные выражения: $\sqrt{6} + 2,5\sqrt{6} = (1+2,5)\sqrt{6} = 3,5\sqrt{6}$.
Ответ: $3,5\sqrt{6}$

506. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{1}{x+x\sqrt{y}}+\frac{1}{x-x\sqrt{y}}\right)·\frac{y-1}{2}=$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{1}{x(1+\sqrt{y})}+\frac{1}{x(1-\sqrt{y})}\right)·\frac{y-1}{2}= \\ =\left(\frac{1-\sqrt{y}}{x(1+\sqrt{y})(1-\sqrt{y})}+\frac{1+\sqrt{y}}{x(1-\sqrt{y})(1+\sqrt{y})}\right)\times \\ \times \frac{y-1}{2}=\left(\frac{1-\sqrt{y}}{x(1-y)}+\frac{1+\sqrt{y}}{x(1-y)}\right)·\frac{y-1}{2}= \\ =\frac{1-\sqrt{y}+1+\sqrt{y}}{x(1-y)}·\frac{-(1-y)}{2}=-\frac{2}{x·2}=-\frac{1}{x} \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)·\frac{{(6-a)}^2}{2}=$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}-\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}\right)\times \\ \times \frac{{(b-a)}^2}{2}=\left(\frac{\sqrt{ab}+a}{a-b}-\frac{a-\sqrt{ab}}{a-b}\right)·\frac{{(b-a)}^2}{2}= \\ =\frac{a+\sqrt{ab}-a+\sqrt{ab}}{a-b}·\frac{{(a-b)}^2}{2}= \\ =\frac{2\sqrt{ab}(a-b)}{2}=\sqrt{ab}(a-b) \end{gathered}$$

а)

Дано выражение $(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} + \frac{1}{x-x\sqrt{y}}) \cdot \frac{y-1}{2}$.
1. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала вынесем $x$ за скобки в знаменателях дробей:
$\frac{1}{x(1+\sqrt{y})} + \frac{1}{x(1-\sqrt{y})}$
Общим знаменателем является $x(1+\sqrt{y})(1-\sqrt{y})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, преобразуем знаменатель:
$x(1+\sqrt{y})(1-\sqrt{y}) = x(1^2 - (\sqrt{y})^2) = x(1-y)$.
Теперь сложим дроби:
$\frac{1 \cdot (1-\sqrt{y})}{x(1-y)} + \frac{1 \cdot (1+\sqrt{y})}{x(1-y)} = \frac{1-\sqrt{y} + 1+\sqrt{y}}{x(1-y)} = \frac{2}{x(1-y)}$.
2. Умножим полученное выражение на дробь $\frac{y-1}{2}$:
$\frac{2}{x(1-y)} \cdot \frac{y-1}{2}$.
Заметим, что $y-1 = -(1-y)$. Подставим это в наше выражение:
$\frac{2}{x(1-y)} \cdot \frac{-(1-y)}{2}$.
3. Сократим общие множители. Сокращаем $2$ в числителе и знаменателе, а также $(1-y)$:
$\frac{\cancel{2}}{x\cancel{(1-y)}} \cdot \frac{-\cancel{(1-y)}}{\cancel{2}} = \frac{-1}{x} = -\frac{1}{x}$.
Область допустимых значений: $x \ne 0, y \ge 0, y \ne 1$.

Ответ: $-\frac{1}{x}$.

б)

Дано выражение $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}) \cdot \frac{(b-a)^2}{2}$.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. По формуле разности квадратов это равно $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a+\sqrt{ab} - (a-\sqrt{ab})}{a-b} = \frac{a+\sqrt{ab} - a+\sqrt{ab}}{a-b} = \frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$.
2. Умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{2\sqrt{ab}}{a-b} \cdot \frac{(b-a)^2}{2}$.
Так как $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$, можем переписать выражение следующим образом:
$\frac{2\sqrt{ab}}{a-b} \cdot \frac{(a-b)^2}{2}$.
3. Сократим общие множители $2$ и $(a-b)$:
$\frac{\cancel{2}\sqrt{ab}}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}} = \sqrt{ab}(a-b)$.
Область допустимых значений: $a \ge 0, b \ge 0, a \ne b$.

Ответ: $\sqrt{ab}(a-b)$.

507. Докажите, что значение выражения

при 0 ≤ b ≤ 49 не зависит от b.

$$\begin{gathered} \sqrt{b+49-14\sqrt{b}}+\sqrt{b+49+14\sqrt{b}}= \\ =\sqrt{{(\sqrt{b}-7)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{b}+7)}^2}= \\ =\left|\sqrt{b}-7\right|+\left|\sqrt{b}+7\right|=-\sqrt{b}+7+\sqrt{b}+7=14 \end{gathered}$$

при $0\le b\le 49; 0\le \sqrt{b}\le 7$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $b$ при $0 \le b \le 49$, необходимо упростить данное выражение.

Исходное выражение: $\sqrt{b + 49 - 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}}$.

Рассмотрим подкоренные выражения. Их можно преобразовать, заметив, что они являются полными квадратами. Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$ и $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.

Для первого подкоренного выражения $b + 49 - 14\sqrt{b}$: Перепишем его как $(\sqrt{b})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} + 7^2$. Это соответствует формуле квадрата разности $( \sqrt{b} - 7 )^2$.

Для второго подкоренного выражения $b + 49 + 14\sqrt{b}$: Перепишем его как $(\sqrt{b})^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} + 7^2$. Это соответствует формуле квадрата суммы $( \sqrt{b} + 7 )^2$.

Теперь подставим полученные полные квадраты обратно в исходное выражение: $\sqrt{( \sqrt{b} - 7 )^2} + \sqrt{( \sqrt{b} + 7 )^2}$

Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда выражение примет вид: $| \sqrt{b} - 7 | + | \sqrt{b} + 7 |$

Теперь необходимо раскрыть модули, учитывая условие $0 \le b \le 49$. Возьмем квадратный корень из всех частей этого неравенства: $\sqrt{0} \le \sqrt{b} \le \sqrt{49}$ $0 \le \sqrt{b} \le 7$

1. Раскроем первый модуль $| \sqrt{b} - 7 |$. Так как $0 \le \sqrt{b} \le 7$, то выражение $\sqrt{b} - 7$ будет меньше или равно нулю ($\sqrt{b} - 7 \le 0$). По определению модуля, $|a| = -a$, если $a \le 0$. Следовательно, $| \sqrt{b} - 7 | = -(\sqrt{b} - 7) = 7 - \sqrt{b}$.

2. Раскроем второй модуль $| \sqrt{b} + 7 |$. Так как $\sqrt{b} \ge 0$, то сумма $\sqrt{b} + 7$ всегда будет положительной. По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$. Следовательно, $| \sqrt{b} + 7 | = \sqrt{b} + 7$.

Подставим раскрытые модули в выражение: $(7 - \sqrt{b}) + (\sqrt{b} + 7)$

Упростим, приведя подобные слагаемые: $7 - \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14$

В результате упрощения мы получили число 14, которое является константой и не зависит от значения переменной $b$. Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от $b$ при $0 \le b \le 49$.

Ответ: значение выражения равно 14, что является постоянной величиной и не зависит от $b$.

508. Постройте графики функций:

$y=\sqrt{x};$ область определения функции x≥0

График функции $y=\sqrt{x}-3$ и $y=\sqrt{x}+3$ получаются из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом его на 3 единицы вниз и 3 единицы вверх вдоль оси y соответственно.

График функции $y=\sqrt{x-3}$ и $y=\sqrt{x+3}$ получаются из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом его на 3 единицы вправо и 3 единицы влево вдоль оси x соответственно.

Для построения графиков всех заданных функций мы будем использовать график базовой функции $y = \sqrt{x}$ и выполнять его преобразования, то есть сдвиги по осям координат.

$y = \sqrt{x}$

Это основная функция. Ее график — ветвь параболы.

Найдем область определения и область значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Значение квадратного корня также неотрицательно: $y \ge 0$. Таким образом, область определения — $[0, +\infty)$, а область значений — $[0, +\infty)$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

Нанеся точки (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) на координатную плоскость и соединив их плавной кривой, мы получим искомый график. Он начинается в начале координат и плавно поднимается вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки (1, 1), (4, 2) и (9, 3).

$y = \sqrt{x} - 3$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$). Область определения остается прежней: $x \ge 0$. Область значений смещается на 3 вниз: $y \ge -3$.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0, -3)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, -2)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, -1)
• (9, 3) $\rightarrow$ (9, 0)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вниз.

$y = \sqrt{x} + 3$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 3$.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0, 3)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, 4)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, 5)
• (9, 3) $\rightarrow$ (9, 6)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} + 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вверх.

$y = \sqrt{x - 3}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. Область значений: $y \ge 0$. Начальная точка графика — (3, 0).

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) $\rightarrow$ (3, 0)
• (1, 1) $\rightarrow$ (4, 1)
• (4, 2) $\rightarrow$ (7, 2)
• (9, 3) $\rightarrow$ (12, 3)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо.

$y = \sqrt{x + 3}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения: $x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$. Область значений: $y \ge 0$. Начальная точка графика — (-3, 0).

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) $\rightarrow$ (-3, 0)
• (1, 1) $\rightarrow$ (-2, 1)
• (4, 2) $\rightarrow$ (1, 2)
• (9, 3) $\rightarrow$ (6, 3)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы влево.

509. Постройте график функции y =x - 4x + 2.

$y=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}.$

Область определения функции: x≥0

$y=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2}; y=\sqrt{x}-2$

График функции $y=\sqrt{x}-2$ получаем из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом его на 2 единицы вниз вдоль оси y

Для построения графика функции $y = \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}$ необходимо сначала найти ее область определения, а затем упростить ее выражение.

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
Знаменатель дроби $\sqrt{x} + 2$ не должен быть равен нулю. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} + 2 \ge 2$. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — это все $x \ge 0$, или $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Упрощение функции.

Заметим, что числитель $x - 4$ можно разложить на множители как разность квадратов, если представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$.
$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.
Теперь подставим это выражение в исходную функцию:
$y = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2}$.
Поскольку на всей области определения знаменатель $\sqrt{x} + 2$ не равен нулю, мы можем сократить на него дробь:
$y = \sqrt{x} - 2$.

3. Построение графика.

Итак, на всей своей области определения исходная функция совпадает с функцией $y = \sqrt{x} - 2$.
График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вниз вдоль оси ординат Oy.
Для построения найдем несколько ключевых точек:
- при $x = 0$, $y = \sqrt{0} - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$ – точка начала графика.
- при $x = 1$, $y = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
- при $x = 4$, $y = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(4, 0)$ – точка пересечения с осью абсцисс Ox.
- при $x = 9$, $y = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(9, 1)$.
Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(0, -2)$ и направленная вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}$ является графиком функции $y = \sqrt{x} - 2$. Это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещенным на 2 единицы вниз. График начинается в точке $(0, -2)$ и проходит через точки $(1, -1)$, $(4, 0)$, $(9, 1)$ и так далее.