Номер 504, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 504, страница 114.

504. При каком значении х дробь x - 2x - 2 принимает наибольшее значение?

Дробь имеет смысл при x≥0.

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем знаменателе. Знаменатель дроби $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$ будет наименьшим при x=0, т.к. x≥0. Значит, сама дробь $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$ принимает наибольшее значение при x=0

Ответ: при x=0

Чтобы найти, при каком значении $x$ дробь принимает наибольшее значение, рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x-2 \ne 0$, что означает $x \ne 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [0, 2) \cup (2, +\infty)$.

Далее, упростим выражение дроби. Знаменатель $x-2$ можно представить в виде разности квадратов, если заметить, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$:
$x - 2 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})$.

Теперь подставим это разложение в исходную дробь:
$f(x) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$.

Так как по ОДЗ $x \ne 2$, то $\sqrt{x} \ne \sqrt{2}$, и, следовательно, выражение $\sqrt{x}-\sqrt{2}$ не равно нулю. Это позволяет нам сократить дробь на $(\sqrt{x}-\sqrt{2})$:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ на её области определения.

Дробь, у которой числитель — постоянное положительное число (в нашем случае 1), принимает наибольшее значение тогда, когда её знаменатель принимает наименьшее значение. Знаменатель нашей дроби — это выражение $\sqrt{x}+\sqrt{2}$.

Рассмотрим знаменатель $g(x) = \sqrt{x}+\sqrt{2}$. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей для всех $x \ge 0$. Поскольку $\sqrt{2}$ является постоянной величиной, функция $g(x)$ также монотонно возрастает на всей своей области определения $x \ge 0$.

Возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левой границе своей области определения. В нашем случае ОДЗ для $x$ это $[0, 2) \cup (2, +\infty)$. Наименьшее возможное значение $x$ из этой области — это $x=0$.

Таким образом, знаменатель $\sqrt{x}+\sqrt{2}$ достигает своего минимума при $x=0$. Следовательно, и вся дробь $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ при $x=0$ принимает свое наибольшее значение.

Ответ: 0.