Номер 501, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 501, страница 113.

501. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(x-\sqrt{xy}+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^3+{\left(\sqrt{y}\right)}^3}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-y}$

б) $\frac{9+3\sqrt{a}+a}{3+\sqrt{a}}=\frac{(9+3\sqrt{a}+a)(3-\sqrt{a})}{(3+\sqrt{a})(3-\sqrt{a})}=$

$=\frac{3^3-{\left(\sqrt{a}\right)}^3}{3^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2}=\frac{27-a\sqrt{a}}{9-a}$

в) $\frac{1-2\sqrt{x}+4x}{1-2\sqrt{x}}=\frac{(1-2\sqrt{x}+4x)(1+2\sqrt{x})}{(1-2\sqrt{x})(1+2\sqrt{x})}=$

$=\frac{1^3+{\left(2\sqrt{x}\right)}^3}{1^2-(2\sqrt{x{)}^2}}=\frac{1+8x\sqrt{x}}{1-4x}$

г) $\frac{a^{2}b+2a\sqrt{b}+4}{a\sqrt{b}+2}=\frac{(a^{2}b+2a\sqrt{b}+4)(a\sqrt{b}-2)}{(a\sqrt{b}+2)(a\sqrt{b}-2)}=$

$=\frac{{\left(a\sqrt{b}\right)}^3-2^3}{{\left(a\sqrt{b}\right)}^2-2^2}=\frac{a^{3}b\sqrt{b}-8}{a^{2}b-4}$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ является $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.

$\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(x - \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$.

Преобразуем числитель. Если обозначить $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, то выражение в первой скобке примет вид $a^2 - ab + b^2$, а во второй $a+b$. Их произведение $(a^2 - ab + b^2)(a+b)$ является формулой суммы кубов $a^3+b^3$.
Таким образом, числитель равен $(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$.

В результате получаем дробь:
$\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x-y}$

Ответ: $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x-y}$.

б) Для дроби $\frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}}$ сопряженным к знаменателю $3 + \sqrt{a}$ является выражение $3 - \sqrt{a}$. Умножим на него числитель и знаменатель.

$\frac{(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 - \sqrt{a})}{(3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a})}$

Знаменатель: $(3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a}) = 3^2 - (\sqrt{a})^2 = 9 - a$.

Числитель: $(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 - \sqrt{a})$. Можно заметить, что это выражение вида $(k^2 + kb + b^2)(k-b)$, где $k=3$ и $b=\sqrt{a}$. Это является формулой разности кубов $k^3-b^3$.
Следовательно, числитель равен $3^3 - (\sqrt{a})^3 = 27 - a\sqrt{a}$.

Итоговая дробь:
$\frac{27 - a\sqrt{a}}{9 - a}$

Ответ: $\frac{27 - a\sqrt{a}}{9 - a}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}}$. Сначала можно упростить ее, выделив целую часть:

$\frac{(1 - 2\sqrt{x}) + 4x}{1 - 2\sqrt{x}} = \frac{1 - 2\sqrt{x}}{1 - 2\sqrt{x}} + \frac{4x}{1 - 2\sqrt{x}} = 1 + \frac{4x}{1 - 2\sqrt{x}}$

Теперь освободимся от иррациональности в знаменателе второго слагаемого. Сопряженное к $1 - 2\sqrt{x}$ есть $1 + 2\sqrt{x}$.

$\frac{4x(1 + 2\sqrt{x})}{(1 - 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x})} = \frac{4x + 8x\sqrt{x}}{1^2 - (2\sqrt{x})^2} = \frac{4x + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}$

Подставим полученное выражение обратно и приведем к общему знаменателю:

$1 + \frac{4x + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x} = \frac{1 - 4x}{1 - 4x} + \frac{4x + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x} = \frac{1 - 4x + 4x + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x} = \frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}$

Ответ: $\frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}$.

г) Для дроби $\frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2}$ сопряженным к знаменателю $a\sqrt{b} + 2$ является $a\sqrt{b} - 2$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} - 2)}{(a\sqrt{b} + 2)(a\sqrt{b} - 2)}$

Знаменатель: $(a\sqrt{b} + 2)(a\sqrt{b} - 2) = (a\sqrt{b})^2 - 2^2 = a^2b - 4$.

Числитель: $(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} - 2)$. Если обозначить $k = a\sqrt{b}$ и $m = 2$, то числитель принимает вид $(k^2+km+m^2)(k-m)$, что является формулой разности кубов $k^3 - m^3$.
Таким образом, числитель равен $(a\sqrt{b})^3 - 2^3 = a^3b\sqrt{b} - 8$.

В результате получаем дробь:
$\frac{a^3b\sqrt{b} - 8}{a^2b - 4}$

Ответ: $\frac{a^3b\sqrt{b} - 8}{a^2b - 4}$.