Номер 494, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 494, страница 112.

494. Найдите значение дроби x² - 3xy + y²x + y + 2 при x = 3 + 5 и y =3 – 5

$$\begin{gathered} \frac{x^2-3xy+y^2}{x+y+2}= \\ =\frac{{(3+\sqrt{5})}^2-3(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})+{(3-\sqrt{5})}^2}{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+2}= \\ =\frac{9+2·3\sqrt{5}+5-3(9-5)+9-2·3\sqrt{5}+5}{8}= \\ =\frac{14-12+14}{8}=\frac{16}{8}=2 \end{gathered}$$

при $x=3+\sqrt{5}$ и $y=3-\sqrt{5}$

Для нахождения значения дроби $\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2}$ при $x = 3 + \sqrt{5}$ и $y = 3 - \sqrt{5}$ удобно сначала вычислить значения некоторых вспомогательных выражений, таких как сумма $x+y$ и произведение $xy$. Это позволит значительно упростить вычисления.

1. Вычислим сумму $x$ и $y$:

$x + y = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 6$.

2. Вычислим произведение $x$ и $y$. Заметим, что $x$ и $y$ являются сопряженными числами, поэтому их произведение можно найти по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$xy = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

3. Теперь преобразуем числитель и знаменатель исходной дроби.

Знаменатель дроби равен $x + y + 2$. Подставим найденное значение $x+y=6$:

$x + y + 2 = 6 + 2 = 8$.

Числитель дроби равен $x^2 - 3xy + y^2$. Преобразуем его, выделив полный квадрат суммы. Для этого воспользуемся тождеством $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Тогда числитель можно записать в виде:

$x^2 - 3xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 3xy = ((x+y)^2 - 2xy) - 3xy = (x+y)^2 - 5xy$.

Подставим в это выражение ранее найденные значения $x+y=6$ и $xy=4$:

$(x+y)^2 - 5xy = 6^2 - 5 \cdot 4 = 36 - 20 = 16$.

4. Теперь, когда мы нашли значения числителя и знаменателя, можем вычислить значение дроби:

$\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2} = \frac{16}{8} = 2$.

Ответ: 2.