Номер 487, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 487, страница 112.

487. Упростите выражение:

a) $\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}+x\right)=1^3-{\left(\sqrt{x}\right)}^3=1-x\sqrt{x}$

б) $\left(\sqrt{a}+2\right)\left(a-2\sqrt{a}+4\right)={\left(\sqrt{a}\right)}^3+2^3=a\sqrt{a}+8$

в) $$\begin{gathered} \left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)\left(m+n+\sqrt{mn}\right)={\left(\sqrt{m}\right)}^3-{\left(\sqrt{n}\right)}^3= \\ =m\sqrt{m}-n\sqrt{n} \end{gathered}$$

г) $\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x^2+y-x\sqrt{y}\right)=x^3+{\left(\sqrt{y}\right)}^3=x^3+y\sqrt{y}$

а) Для упрощения выражения $(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x)$ используется формула разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Пусть $a=1$ и $b=\sqrt{x}$. Тогда $a^2=1^2=1$, $ab=1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}$ и $b^2=(\sqrt{x})^2=x$.
Подставим эти значения в формулу:
$(1-\sqrt{x})(1^2+1\cdot\sqrt{x}+(\sqrt{x})^2) = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x)$.
Это в точности совпадает с исходным выражением. Следовательно, результат будет равен $a^3 - b^3 = 1^3 - (\sqrt{x})^3 = 1 - x\sqrt{x}$.
Ответ: $1 - x\sqrt{x}$.

б) Для упрощения выражения $(\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4)$ используется формула суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.
Пусть $a=\sqrt{a}$ и $b=2$. Тогда $a^2=(\sqrt{a})^2=a$, $ab=2\sqrt{a}$ и $b^2=2^2=4$.
Подставим эти значения в формулу:
$(\sqrt{a}+2)((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\cdot2 + 2^2) = (\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4)$.
Это в точности совпадает с исходным выражением. Следовательно, результат будет равен $(\sqrt{a})^3 + 2^3 = a\sqrt{a} + 8$.
Ответ: $a\sqrt{a} + 8$.

в) Для упрощения выражения $(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+n+\sqrt{mn})$ используется формула разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Переставим слагаемые во второй скобке для соответствия формуле: $(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)$.
Пусть $a=\sqrt{m}$ и $b=\sqrt{n}$. Тогда $a^2=(\sqrt{m})^2=m$, $ab=\sqrt{m}\sqrt{n}=\sqrt{mn}$ и $b^2=(\sqrt{n})^2=n$.
Подставим эти значения в формулу:
$(\sqrt{m}-\sqrt{n})((\sqrt{m})^2+\sqrt{m}\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2) = (\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)$.
Это в точности совпадает с исходным выражением. Следовательно, результат будет равен $(\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.
Ответ: $m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

г) Для упрощения выражения $(x+\sqrt{y})(x^2+y-x\sqrt{y})$ используется формула суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.
Переставим слагаемые во второй скобке для соответствия формуле: $(x+\sqrt{y})(x^2-x\sqrt{y}+y)$.
Пусть $a=x$ и $b=\sqrt{y}$. Тогда $a^2=x^2$, $ab=x\sqrt{y}$ и $b^2=(\sqrt{y})^2=y$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x+\sqrt{y})(x^2-x\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2) = (x+\sqrt{y})(x^2-x\sqrt{y}+y)$.
Это в точности совпадает с исходным выражением. Следовательно, результат будет равен $x^3 + (\sqrt{y})^3 = x^3 + y\sqrt{y}$.
Ответ: $x^3 + y\sqrt{y}$.