Номер 484, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 484, страница 111.

484. Сравните числа:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 0,2\sqrt{200}<10\sqrt{8} \\ 0,2\sqrt{100·2}<10\sqrt{4·2} \\ 0,2·10\sqrt{2}<10·2\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2}<20\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 7\sqrt{\frac{32}{49}}=0,8\sqrt{50} \\ 7\sqrt{\frac{16·2}{49}}=0,8\sqrt{25·2} \\ 7·\frac{4}{7}\sqrt{2}=0,8·5\sqrt{2} \\ 4\sqrt{2}=4\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 0,5\sqrt{108}<9\sqrt{3} \\ 0,5\sqrt{36·3}<9\sqrt{3} \\ 0,5·6\sqrt{3}<9\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3}<9\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{5}{2}\sqrt{63}<4,5\sqrt{28} \\ \frac{5}{2}\sqrt{9·7}<4,5\sqrt{4·7} \\ \frac{5}{2}·3\sqrt{7}<4,5·2\sqrt{7} \\ \frac{15}{2}\sqrt{7}<9\sqrt{7} \\ 7,5\sqrt{7}<9\sqrt{7} \end{gathered}$$

а) Сравним числа $0,2\sqrt{200}$ и $10\sqrt{8}$.
Для сравнения чисел, содержащих квадратные корни, удобно привести их к виду $a\sqrt{b}$, где подкоренное выражение $b$ одинаково для обоих чисел, либо внести множители под знак корня. Воспользуемся первым способом.
Упростим каждое выражение, вынеся множитель из-под знака корня.
Первое число: $0,2\sqrt{200} = 0,2\sqrt{100 \cdot 2} = 0,2 \cdot 10\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Второе число: $10\sqrt{8} = 10\sqrt{4 \cdot 2} = 10 \cdot 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Теперь сравним полученные выражения: $2\sqrt{2}$ и $20\sqrt{2}$.
Так как $2 < 20$ и $\sqrt{2} > 0$, то $2\sqrt{2} < 20\sqrt{2}$.
Следовательно, $0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}$.
Ответ: $0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}$.

б) Сравним числа $7\sqrt{\frac{32}{49}}$ и $0,8\sqrt{50}$.
Для сравнения внесем множители под знак корня. Это позволит нам сравнить только подкоренные выражения.
Первое число: $7\sqrt{\frac{32}{49}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{32}{49}} = \sqrt{49 \cdot \frac{32}{49}} = \sqrt{32}$.
Второе число: $0,8\sqrt{50} = \sqrt{(0,8)^2 \cdot 50} = \sqrt{0,64 \cdot 50} = \sqrt{32}$.
Так как подкоренные выражения равны ($\sqrt{32} = \sqrt{32}$), то и исходные числа равны.
Ответ: $7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0,8\sqrt{50}$.

в) Сравним числа $0,5\sqrt{108}$ и $9\sqrt{3}$.
Упростим первое выражение, вынеся множитель из-под знака корня, чтобы привести оба числа к одинаковому подкоренному выражению.
Найдем полный квадрат в подкоренном выражении: $108 = 36 \cdot 3$.
$0,5\sqrt{108} = 0,5\sqrt{36 \cdot 3} = 0,5 \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 0,5 \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Теперь сравним полученное выражение $3\sqrt{3}$ с числом $9\sqrt{3}$.
Так как $3 < 9$, то $3\sqrt{3} < 9\sqrt{3}$.
Следовательно, $0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}$.
Ответ: $0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}$.

г) Сравним числа $\frac{5}{2}\sqrt{63}$ и $4,5\sqrt{28}$.
Упростим каждое выражение, вынеся множители из-под знака корня.
Первое число: $\frac{5}{2}\sqrt{63} = \frac{5}{2}\sqrt{9 \cdot 7} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = \frac{5}{2} \cdot 3\sqrt{7} = \frac{15}{2}\sqrt{7} = 7,5\sqrt{7}$.
Второе число: $4,5\sqrt{28} = 4,5\sqrt{4 \cdot 7} = 4,5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 4,5 \cdot 2\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$.
Теперь сравним полученные выражения: $7,5\sqrt{7}$ и $9\sqrt{7}$.
Так как $7,5 < 9$, то $7,5\sqrt{7} < 9\sqrt{7}$.
Следовательно, $\frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28}$.
Ответ: $\frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28}$.