Номер 477, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 477, страница 110.

477. При каких значениях переменной верно равенство:

a) $\sqrt{y^4}=y^2$ при любых y

б) $\sqrt{x^{12}}=x^6$ при любых x

в) $\sqrt{x^6}=x^3$ при x≥0

г) $\sqrt{c^{10}}=-c^5$ при c≤0

д) $\sqrt{a^{14}}=-a^7$ при a≤0

е) $\sqrt{b^8}=b^4$ при любых b

а) Рассмотрим равенство $\sqrt{y^4} = y^2$.
Левую часть равенства можно преобразовать, используя свойство корня $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$. В данном случае, подкоренное выражение $y^4$ можно представить как $(y^2)^2$.
$\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$.
Выражение $y^2$ является неотрицательным при любом действительном значении $y$, то есть $y^2 \ge 0$. Поэтому, модуль этого выражения равен самому выражению: $|y^2| = y^2$.
Таким образом, мы получаем тождество $y^2 = y^2$, которое справедливо для любого значения переменной $y$.
Ответ: $y$ - любое число.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt{x^{12}} = x^6$.
Преобразуем левую часть, представив $x^{12}$ как $(x^6)^2$.
$\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$.
Поскольку показатель степени у $x^6$ четный, выражение $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, $|x^6| = x^6$.
Мы получаем тождество $x^6 = x^6$, которое верно для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt{x^6} = x^3$.
Преобразуем левую часть, представив $x^6$ как $(x^3)^2$.
$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.
Исходное равенство принимает вид $|x^3| = x^3$.
Равенство вида $|a| = a$ выполняется только в том случае, когда подмодульное выражение неотрицательно, то есть $a \ge 0$.
Применяя это к нашему случаю, получаем условие $x^3 \ge 0$, которое выполняется при $x \ge 0$.
Ответ: $x \ge 0$.

г) Рассмотрим равенство $\sqrt{c^{10}} = -c^5$.
Преобразуем левую часть, представив $c^{10}$ как $(c^5)^2$.
$\sqrt{c^{10}} = \sqrt{(c^5)^2} = |c^5|$.
Исходное равенство принимает вид $|c^5| = -c^5$.
Равенство вида $|a| = -a$ выполняется только в том случае, когда подмодульное выражение неположительно, то есть $a \le 0$.
Применяя это к нашему случаю, получаем условие $c^5 \le 0$, которое выполняется при $c \le 0$.
Ответ: $c \le 0$.

д) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^{14}} = -a^7$.
Преобразуем левую часть, представив $a^{14}$ как $(a^7)^2$.
$\sqrt{a^{14}} = \sqrt{(a^7)^2} = |a^7|$.
Исходное равенство принимает вид $|a^7| = -a^7$.
Равенство вида $|x| = -x$ выполняется только тогда, когда $x \le 0$.
Следовательно, мы должны иметь $a^7 \le 0$, что верно при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

е) Рассмотрим равенство $\sqrt{b^8} = b^4$.
Преобразуем левую часть, представив $b^8$ как $(b^4)^2$.
$\sqrt{b^8} = \sqrt{(b^4)^2} = |b^4|$.
Поскольку показатель степени у $b^4$ четный, выражение $b^4$ всегда неотрицательно ($b^4 \ge 0$) для любого действительного $b$. Следовательно, $|b^4| = b^4$.
Мы получаем тождество $b^4 = b^4$, которое верно для любого значения $b$.
Ответ: $b$ - любое число.