Номер 476, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 476, страница 110.

476. При каких значениях х верно равенство x² = (x)²?

$\sqrt{x^2}={\left(\sqrt{x}\right)}^2$ верно при x≥0

Ответ: при x≥0

Для того чтобы найти значения $x$, при которых верно равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$, необходимо проанализировать область определения каждой части этого равенства.

Рассмотрим левую часть равенства: $\sqrt{x^2}$. Выражение под знаком квадратного корня, $x^2$, всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) при любом действительном $x$. Следовательно, левая часть определена для всех $x \in (-\infty, +\infty)$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2}$ равно модулю $x$, то есть $\sqrt{x^2} = |x|$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $(\sqrt{x})^2$. Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Таким образом, для правой части должно выполняться условие $x \ge 0$. При этом условии $(\sqrt{x})^2 = x$.

Чтобы всё равенство имело смысл, необходимо, чтобы были определены обе его части. Область допустимых значений (ОДЗ) для всего уравнения находится как пересечение областей определения его левой и правой частей. ОДЗ для левой части — все действительные числа, а для правой — только неотрицательные числа ($x \ge 0$). Пересечением этих двух множеств является промежуток $[0, +\infty)$.

Итак, исходное равенство может быть верным только при $x \ge 0$. Проверим его на этой области.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{x^2} = |x|$. Поскольку мы рассматриваем $x \ge 0$, то $|x| = x$.

Правая часть: $(\sqrt{x})^2 = x$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$x = x$

Это равенство является тождеством и верно для всех значений $x$ из области допустимых значений, то есть для всех $x \ge 0$.

Ответ: Равенство верно при $x \ge 0$.