Номер 469, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 469, страница 109.

469. Вычислите:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{196·0,81·0,36}=\sqrt{196}·\sqrt{0,81}·\sqrt{0,36}= \\ =14·0,9·0,6=7,56 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{1\frac{9}{16}·5\frac{4}{9}·0,01}=\sqrt{\frac{25}{16}·\frac{49}{9}·0,01}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{25}{16}}·\sqrt{\frac{49}{9}}·\sqrt{0,01}=\frac{5}{4}·\frac{7}{3}·0,1= \\ =\frac{35}{12}·\frac{1}{10}=\frac{7}{12·2}=\frac{7}{24} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} \sqrt{0,87·49+0,82·49}=\sqrt{49·(0,87+0,82)}= \\ =\sqrt{49·1,69}=\sqrt{49}·\sqrt{1,69}=7·1,3=9,1 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{1,44·1,21-1,44·0,4}=\sqrt{1,44·(1,21-0,4)}= \\ =\sqrt{1,44·0,81}=\sqrt{1,44}·\sqrt{0,81}=1,2·0,9=1,08 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36}$ воспользуемся свойством квадратного корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{0,36}$.
Теперь вычислим значение каждого корня по отдельности:
$\sqrt{196} = 14$ (поскольку $14^2 = 196$)
$\sqrt{0,81} = 0,9$ (поскольку $0,9^2 = 0,81$)
$\sqrt{0,36} = 0,6$ (поскольку $0,6^2 = 0,36$)
Осталось перемножить полученные результаты:
$14 \cdot 0,9 \cdot 0,6 = 12,6 \cdot 0,6 = 7,56$.
Ответ: 7,56

б) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 5\frac{4}{9} \cdot 0,01}$, сперва преобразуем все числа под корнем в удобный для вычислений вид. Смешанные дроби переведем в неправильные, а десятичную дробь — в обыкновенную.
$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$
$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}$
$0,01 = \frac{1}{100}$
Теперь подставим эти значения обратно в выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{25}{16} \cdot \frac{49}{9} \cdot \frac{1}{100}}$.
Используя свойство корня из произведения, получим:
$\sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{\frac{49}{9}} \cdot \sqrt{\frac{1}{100}}$.
Теперь извлечем корень из каждой дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{10}$.
Перемножим полученные дроби:
$\frac{5 \cdot 7 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 10} = \frac{35}{120}$.
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{35}{120} = \frac{7 \cdot 5}{24 \cdot 5} = \frac{7}{24}$.
Ответ: $\frac{7}{24}$

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,87 \cdot 49 + 0,82 \cdot 49}$ заметим, что под корнем есть общий множитель 49. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения.
$\sqrt{49 \cdot (0,87 + 0,82)}$.
Выполним действие в скобках:
$0,87 + 0,82 = 1,69$.
Выражение примет вид:
$\sqrt{49 \cdot 1,69}$.
Теперь воспользуемся свойством корня из произведения:
$\sqrt{49} \cdot \sqrt{1,69}$.
Вычислим каждый корень:
$\sqrt{49} = 7$
$\sqrt{1,69} = 1,3$ (поскольку $1,3^2 = 1,69$)
Перемножим результаты:
$7 \cdot 1,3 = 9,1$.
Ответ: 9,1

г) В выражении $\sqrt{1,44 \cdot 1,21 - 1,44 \cdot 0,4}$ также есть общий множитель под корнем — 1,44. Вынесем его за скобки.
$\sqrt{1,44 \cdot (1,21 - 0,4)}$.
Выполним вычитание в скобках:
$1,21 - 0,4 = 0,81$.
Выражение примет вид:
$\sqrt{1,44 \cdot 0,81}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{1,44} \cdot \sqrt{0,81}$.
Вычислим каждый корень:
$\sqrt{1,44} = 1,2$ (поскольку $1,2^2 = 1,44$)
$\sqrt{0,81} = 0,9$ (поскольку $0,9^2 = 0,81$)
Перемножим полученные значения:
$1,2 \cdot 0,9 = 1,08$.
Ответ: 1,08