Номер 462, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 462, страница 108.

462. Укажите допустимые значения переменной х в выражении:

a) $\sqrt{x^3}; x^3\ge 0; x\ge 0$

Ответ: x≥0

б) $\sqrt{x^4}; x^4\ge 0$ при любых x

Ответ: все числа

в) $\sqrt{x^2+1}; x^2+1>0$ при любых x

Ответ: все числа

г) $\sqrt{{(4-x)}^2}; {(4-x)}^2\ge 0$ при любых x

Ответ: все числа

д) $\sqrt{-x^2}; -x^2\ge 0; x^2\le 0; x=0$

Ответ: x=0

е) $\sqrt{-x^3}; -x^3\ge 0; x^3\le 0; x\le 0$

Ответ: x≤0

а) Для того чтобы выражение $\sqrt{x^3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это значит, что должно выполняться неравенство: $x^3 \ge 0$ Неравенство для нечетной степени справедливо тогда, когда основание степени имеет тот же знак. Следовательно, $x$ должен быть неотрицательным. $x \ge 0$
Ответ: $x \ge 0$.

б) Выражение $\sqrt{x^4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $x^4 \ge 0$ Так как любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), всегда является неотрицательным, это неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

в) Выражение $\sqrt{x^2+1}$ имеет смысл, когда $x^2+1 \ge 0$. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным: $x^2+1 \ge 0+1=1$. Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2+1 \ge 0$ выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

г) Выражение $\sqrt{(4-x)^2}$ имеет смысл, когда $(4-x)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поэтому выражение $(4-x)^2$ всегда будет больше или равно нулю для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

д) Выражение $\sqrt{-x^2}$ имеет смысл, когда $-x^2 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 \le 0$ Мы знаем, что квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям ($x^2 \le 0$ и $x^2 \ge 0$), это $x^2 = 0$. Это уравнение имеет единственное решение: $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

е) Выражение $\sqrt{-x^3}$ имеет смысл, когда $-x^3 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^3 \le 0$ Неравенство для нечетной степени справедливо тогда, когда основание степени имеет тот же знак. Следовательно, $x$ должен быть неположительным. $x \le 0$
Ответ: $x \le 0$.