Номер 467, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 467, страница 109.

467. Сравните числа:

a) $\sqrt{7,5}<\sqrt{7,6}$

б) $\sqrt{0,1}>\sqrt{0,01}$

в) $\sqrt{\frac{1}{3}}>\sqrt{0,3}$

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}>\frac{3}{10} \\ \frac{10}{30}>\frac{9}{30} \end{gathered}$$

г) $\sqrt{2,16}<\sqrt{2\frac{1}{6}}$

$$\begin{gathered} 2\frac{16}{400}<2\frac{1}{6} \\ 2\frac{96}{600}<2\frac{100}{600} \end{gathered}$$

д) $\sqrt{\frac{5}{9}}>\sqrt{\frac{6}{11}}$

$$\begin{gathered} \frac{5}{9}>\frac{6}{11} \\ \frac{55}{99}>\frac{54}{99} \end{gathered}$$

е) $\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{0,\left(3\right)}$

$\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$

ж) $\sqrt{7}>2,6$

$$\begin{gathered} 7>2,6^2 \\ 7>6,76 \end{gathered}$$

з) $3,2>\sqrt{9,8}$

$$\begin{gathered} 3,2^2>9,8 \\ 10,24>9,8 \end{gathered}$$

и) $\sqrt{1,23}>1,1$

$$\begin{gathered} 1,23>1,1^2 \\ 1,23>1,21 \end{gathered}$$

а) Для сравнения чисел $\sqrt{7,5}$ и $\sqrt{7,6}$ воспользуемся свойством: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Сравним подкоренные выражения $7,5$ и $7,6$.
Поскольку $7,5 < 7,6$, то и $\sqrt{7,5} < \sqrt{7,6}$.
Ответ: $\sqrt{7,5} < \sqrt{7,6}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt{0,1}$ и $\sqrt{0,01}$, нужно сравнить их подкоренные выражения. Сравниваем $0,1$ и $0,01$.
Так как $0,1 > 0,01$, то отсюда следует, что $\sqrt{0,1} > \sqrt{0,01}$.
Ответ: $\sqrt{0,1} > \sqrt{0,01}$.

в) Сравним числа $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,3}$. Для этого сравним подкоренные выражения: $\frac{1}{3}$ и $0,3$. Приведем оба числа к виду обыкновенных дробей.
$0,3 = \frac{3}{10}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{10}$. Приведем их к общему знаменателю $30$:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{10}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
Так как $\frac{10}{30} > \frac{9}{30}$, то $\frac{1}{3} > 0,3$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{0,3}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{0,3}$.

г) Сравним числа $\sqrt{2,16}$ и $\sqrt{2\frac{1}{6}}$. Для этого необходимо сравнить подкоренные выражения $2,16$ и $2\frac{1}{6}$. Преобразуем смешанную дробь в десятичную.
$2\frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} = 2 + 0,1666... = 2,1(6)$.
Теперь сравним десятичные дроби $2,16$ и $2,1(6)$.
$2,16 = 2,1600...$
$2,1(6) = 2,1666...$
Очевидно, что $2,16 < 2,1(6)$.
Значит, $\sqrt{2,16} < \sqrt{2\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{2,16} < \sqrt{2\frac{1}{6}}$.

д) Чтобы сравнить $\sqrt{\frac{5}{9}}$ и $\sqrt{\frac{6}{11}}$, сравним дроби под корнями: $\frac{5}{9}$ и $\frac{6}{11}$.
Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 11 = 99$:
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{55}{99}$
$\frac{6}{11} = \frac{6 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{54}{99}$
Поскольку $\frac{55}{99} > \frac{54}{99}$, то $\frac{5}{9} > \frac{6}{11}$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{5}{9}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{5}{9}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.

е) Сравним числа $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,(3)}$. Для этого сравним подкоренные выражения $\frac{1}{3}$ и $0,(3)$.
Периодическая десятичная дробь $0,(3)$ (читается "ноль целых и три в периоде") представляет собой бесконечную дробь $0,333...$, которая равна обыкновенной дроби $\frac{1}{3}$.
Так как подкоренные выражения равны: $\frac{1}{3} = 0,(3)$, то и сами числа равны.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{0,(3)}$.

ж) Чтобы сравнить $\sqrt{7}$ и $2,6$, представим число $2,6$ в виде квадратного корня. Для этого возведем $2,6$ в квадрат и запишем результат под знаком корня: $2,6 = \sqrt{2,6^2}$.
Вычислим $2,6^2$: $2,6^2 = 2,6 \cdot 2,6 = 6,76$.
Таким образом, $2,6 = \sqrt{6,76}$.
Теперь сравнение сводится к сравнению $\sqrt{7}$ и $\sqrt{6,76}$. Так как $7 > 6,76$, то $\sqrt{7} > \sqrt{6,76}$.
Следовательно, $\sqrt{7} > 2,6$.
Ответ: $\sqrt{7} > 2,6$.

з) Для сравнения чисел $3,2$ и $\sqrt{9,8}$ возведем число $3,2$ в квадрат, чтобы оба числа можно было сравнивать под знаком корня. $3,2^2 = 3,2 \cdot 3,2 = 10,24$.
Таким образом, $3,2 = \sqrt{10,24}$.
Теперь сравним $\sqrt{10,24}$ и $\sqrt{9,8}$.
Поскольку $10,24 > 9,8$, то $\sqrt{10,24} > \sqrt{9,8}$.
Значит, $3,2 > \sqrt{9,8}$.
Ответ: $3,2 > \sqrt{9,8}$.

и) Сравним числа $\sqrt{1,23}$ и $1,1$. Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат одного числа больше квадрата другого, то и само число больше.
Возведем $1,1$ в квадрат: $1,1^2 = 1,21$.
Теперь сравним подкоренное выражение $1,23$ с результатом возведения в квадрат: $1,23$ и $1,21$.
Так как $1,23 > 1,21$, то $\sqrt{1,23} > \sqrt{1,21}$.
Поскольку $\sqrt{1,21} = 1,1$, получаем $\sqrt{1,23} > 1,1$.
Ответ: $\sqrt{1,23} > 1,1$.