Номер 461, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 461, страница 108.

461. Приведите пример уравнения вида x² = a, которое:

а) имеет два рациональных корня;

б) имеет два иррациональных корня;

в) не имеет корней.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }{x}^2=1,44 \\ {x}_1=1,2 \\ {x}_2=-1,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }{x}^2=5 \\ {x}_1=\sqrt{5} \\ {x}_2=-\sqrt{5} \end{gathered}$$

$\mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }{x}^2=-2$

Рассмотрим уравнение вида $x^2 = a$. Корни этого уравнения (если они существуют в множестве действительных чисел) равны $x = \pm\sqrt{a}$. Количество и тип корней зависят от значения $a$.

а) имеет два рациональных корня;
Чтобы уравнение $x^2 = a$ имело два рациональных корня, необходимо, чтобы $a$ было положительным числом ($a > 0$), из которого можно извлечь квадратный корень и получить рациональное число. Это означает, что $a$ должно быть полным квадратом некоторого рационального числа.
Например, выберем $a = 25$. Число 25 является полным квадратом числа 5 ($25 = 5^2$).
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = 25$.
Его корни: $x_1 = \sqrt{25} = 5$ и $x_2 = -\sqrt{25} = -5$.
Оба корня, 5 и -5, являются рациональными числами.
Ответ: $x^2 = 25$.

б) имеет два иррациональных корня;
Чтобы уравнение $x^2 = a$ имело два иррациональных корня, необходимо, чтобы $a$ было положительным числом ($a > 0$), которое не является полным квадратом рационального числа.
Например, выберем $a = 3$. Число 3 положительное, но не является квадратом какого-либо рационального числа.
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = 3$.
Его корни: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.
Число $\sqrt{3}$ является иррациональным, следовательно, оба корня иррациональны.
Ответ: $x^2 = 3$.

в) не имеет корней.
Уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней, если правая часть уравнения, $a$, является отрицательным числом. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2$ не может быть равен отрицательному числу.
Например, выберем $a = -4$.
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = -4$.
Это уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел, так как нет такого действительного числа, квадрат которого был бы равен -4.
Ответ: $x^2 = -4$.