Номер 468, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 468, страница 109.

468. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях b уравнение:

a) $\sqrt{x}=x+b$

$y=\sqrt{x}$

y=x+b - линейная функция, график-прямая

x	0	1	4	9
y	0	1	2	3

если b=0, то y=x

Ответ: 2 корня

если b<0, то 1 корень

Ответ: 1 корень

если b>0, то нет корней

Ответ: 0 корей

б) $\sqrt{x}=-x+b$

если b=0, то y=-x

Ответ: 1 корень

если b>0, то 1 корень

Ответ: 1 корень

если b<0, то корней нет

а)

Для решения уравнения $\sqrt{x} = x+b$ графическим методом, рассмотрим графики двух функций: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = x+b$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.

График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Область определения функции: $x \ge 0$.

График функции $y_2 = x+b$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $b$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $Oy$. При изменении $b$ прямая перемещается вверх или вниз, оставаясь параллельной самой себе.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $b$.

1. Случай касания. Найдем значение $b$, при котором прямая $y=x+b$ касается графика $y=\sqrt{x}$. В точке касания угловые коэффициенты касательной к графику и прямой должны совпадать. Угловой коэффициент прямой равен 1. Угловой коэффициент касательной к графику $y=\sqrt{x}$ находится через производную: $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

   Приравнивая угловые коэффициенты, получаем: $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$, откуда $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$, то есть $x = \frac{1}{4}$. Ордината точки касания: $y = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

   Подставим координаты точки касания $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$ в уравнение прямой $y=x+b$: $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + b$. Отсюда находим $b = \frac{1}{4}$. При $b = \frac{1}{4}$ прямая касается графика, значит, уравнение имеет один корень.

2. Нет пересечений. Если $b > \frac{1}{4}$, прямая $y=x+b$ расположена выше касательной и не имеет общих точек с графиком $y=\sqrt{x}$. В этом случае уравнение не имеет корней.

3. Два или одно пересечение. Если $b < \frac{1}{4}$, прямая $y=x+b$ расположена ниже касательной. Этот случай необходимо разделить на два подслучая:

   • При $0 \le b < \frac{1}{4}$ прямая пересекает ось $Oy$ в неотрицательной точке $(0, b)$. Она пересекает график $y=\sqrt{x}$ в двух точках. Например, при $b=0$ уравнение $\sqrt{x}=x$ имеет два корня: $x=0$ и $x=1$.

   • При $b < 0$ прямая пересекает ось $Oy$ в отрицательной части. Так как график $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0,0)$ и уходит в бесконечность вправо и вверх, прямая $y=x+b$ пересечет его ровно в одной точке.

Итак, обобщим результаты:

• если $b > \frac{1}{4}$, корней нет (0 корней);

• если $b = \frac{1}{4}$ или $b < 0$, есть один корень;

• если $0 \le b < \frac{1}{4}$, есть два корня.

Ответ: уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от значения $b$.

б)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x} = -x+b$. Для определения количества корней построим и проанализируем графики функций $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = -x+b$.

График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$.

График функции $y_2 = -x+b$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-1$. Параметр $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Проанализируем количество точек пересечения графиков в зависимости от $b$.

1. Нет пересечений. Если $b < 0$, то прямая $y = -x+b$ пересекает ось $Oy$ в точке $(0, b)$ с отрицательной ординатой. Поскольку угловой коэффициент прямой отрицательный, при $x \ge 0$ вся прямая будет лежать в четвертой координатной четверти, где $y \le b < 0$. График $y=\sqrt{x}$ целиком лежит в первой четверти, где $y \ge 0$. Таким образом, графики не могут пересечься, и уравнение не имеет корней.

2. Одно пересечение. Если $b \ge 0$, то прямая $y = -x+b$ пересекает ось $Oy$ в точке $(0, b)$ с неотрицательной ординатой. График функции $y = \sqrt{x}$ является возрастающей функцией, начинающейся в точке $(0,0)$. График функции $y = -x+b$ является убывающей функцией. Возрастающая и убывающая непрерывные функции могут пересечься не более одного раза. Так как при $x=0$ значение первой функции равно 0, а второй — $b \ge 0$, а при $x \to \infty$ первая функция стремится к $+\infty$, а вторая к $-\infty$, то графики обязательно пересекутся, причем ровно в одной точке. Это означает, что уравнение имеет ровно один корень.

Итак, обобщим результаты:

• если $b < 0$, корней нет (0 корней);

• если $b \ge 0$, есть один корень.

Ответ: уравнение может иметь 0 или 1 корень в зависимости от значения $b$.