Страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

464. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение:

a) $\frac{4}{\sqrt{x}}$

Ответ: при x>0

б) $\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

Ответ: при x≥0

в) $\frac{5}{\sqrt{x}-1}; \sqrt{x}-1\ne 0; \sqrt{x}\ne 1; x\ne 1$

Ответ: при x≥0, x≠1

а)

Для того чтобы выражение $\frac{4}{\sqrt{x}}$ имело смысл, должны выполняться два условия, связанные с областью определения:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это означает, что $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Это означает, что $\sqrt{x} \neq 0$.

Решая второе условие, возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 \neq 0^2$, что дает $x \neq 0$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), мы получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля.

Ответ: $x > 0$.

б)

Для того чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ имело смысл, необходимо выполнение следующих условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x \ge -2$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{x+2} \neq 0$. Возводим обе части в квадрат: $x+2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$.

Чтобы выражение имело смысл, оба условия должны выполняться одновременно. Совмещая $x \ge -2$ и $x \neq -2$, получаем строгое неравенство $x > -2$.

Ответ: $x > -2$.

в)

Для того чтобы выражение $\frac{5}{\sqrt{x}-1}$ имело смысл, должны быть выполнены два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным: $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x}-1 \neq 0$.

Решим второе условие: $\sqrt{x} \neq 1$. Возводим обе части в квадрат: $x \neq 1^2$, что дает $x \neq 1$.

Таким образом, переменная $x$ должна удовлетворять системе условий:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Это означает, что $x$ может быть любым неотрицательным числом, за исключением единицы.

Ответ: $x \ge 0$ и $x \neq 1$.

465. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{0,16}+{\left(2\sqrt{0,1}\right)}^2=0,4+4·0,1=0,4+0,4=0,8$

б) $$\begin{gathered} {\left(0,2\sqrt{10}\right)}^2+0,5\sqrt{16}=0,04·10+0,5·4= \\ =0,4+2=2,4 \end{gathered}$$

в) $\sqrt{144}-0,5{\left(\sqrt{12}\right)}^2=12-0,5·12=12-6=6$

г) ${\left(3\sqrt{3}\right)}^2+{(-3\sqrt{3})}^2=9·3+9·3=27+27=54$

д) ${\left(5\sqrt{2}\right)}^2-{\left(2\sqrt{5}\right)}^2=25·2-4·5=50-20=30$

е) ${\left(-3\sqrt{6}\right)}^2-3{\left(\sqrt{6}\right)}^2=9·6-3·6=54-18=36$

а) Для решения выражения $\sqrt{0,16} + (2\sqrt{0,1})^2$ выполним действия по порядку.
Сначала найдем значение корня: $\sqrt{0,16} = 0,4$.
Затем возведем в квадрат второе слагаемое, используя свойство степени $(ab)^2 = a^2 b^2$: $(2\sqrt{0,1})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{0,1})^2 = 4 \cdot 0,1 = 0,4$.
Теперь сложим полученные значения: $0,4 + 0,4 = 0,8$.
Ответ: 0,8

б) Для решения выражения $(0,2\sqrt{10})^2 + 0,5\sqrt{16}$ выполним действия по порядку.
Сначала возведем в квадрат первое слагаемое: $(0,2\sqrt{10})^2 = (0,2)^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 0,04 \cdot 10 = 0,4$.
Затем найдем значение второго слагаемого: $0,5\sqrt{16} = 0,5 \cdot 4 = 2$.
Теперь сложим полученные значения: $0,4 + 2 = 2,4$.
Ответ: 2,4

в) Для решения выражения $\sqrt{144} - 0,5(\sqrt{12})^2$ выполним действия по порядку.
Сначала найдем значение корня: $\sqrt{144} = 12$.
Затем найдем значение вычитаемого: $0,5(\sqrt{12})^2 = 0,5 \cdot 12 = 6$.
Теперь выполним вычитание: $12 - 6 = 6$.
Ответ: 6

г) Для решения выражения $(3\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2$ выполним действия по порядку.
Сначала возведем в квадрат первое слагаемое: $(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
Затем возведем в квадрат второе слагаемое: $(-3\sqrt{3})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
Теперь сложим полученные значения: $27 + 27 = 54$.
Ответ: 54

д) Для решения выражения $(5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2$ выполним действия по порядку.
Сначала найдем значение уменьшаемого: $(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.
Затем найдем значение вычитаемого: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Теперь выполним вычитание: $50 - 20 = 30$.
Ответ: 30

е) Для решения выражения $(-3\sqrt{6})^2 - 3(\sqrt{6})^2$ выполним действия по порядку.
Сначала найдем значение уменьшаемого: $(-3\sqrt{6})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$.
Затем найдем значение вычитаемого: $3(\sqrt{6})^2 = 3 \cdot 6 = 18$.
Теперь выполним вычитание: $54 - 18 = 36$.
Ответ: 36

466. Расстояние между двумя точками координатной плоскости A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) вычисляется по формуле

Вычислите расстояние между точками A(–3,5; 4,3) и B(7,8; 0,4) с помощью калькулятора.

$$\begin{gathered} d=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2} \\ A\left(-3,5; 4,3\right), B\left(7,8; 0,4\right) \\ AB=\sqrt{{(-3,5-7,8)}^2+{(4,3-0,4)}^2}= \\ =\sqrt{{(-11,3)}^2+3,9^2}=\sqrt{127,69+15,21}= \\ =\sqrt{142,9}\approx 12 \end{gathered}$$

Для вычисления расстояния между точками A(-3,5; 4,3) и B(7,8; 0,4) воспользуемся данной в условии формулой:

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

Здесь $(x_1; y_1)$ — это координаты точки A, а $(x_2; y_2)$ — это координаты точки B.

Подставим известные значения координат в формулу:

$x_1 = -3,5$; $y_1 = 4,3$

$x_2 = 7,8$; $y_2 = 0,4$

$d = \sqrt{(-3.5 - 7.8)^2 + (4.3 - 0.4)^2}$

Теперь последовательно выполним вычисления:

1. Вычислим разности в скобках:

$d = \sqrt{(-11.3)^2 + (3.9)^2}$

2. Возведем полученные значения в квадрат:

$d = \sqrt{127.69 + 15.21}$

3. Сложим числа под знаком корня:

$d = \sqrt{142.9}$

4. С помощью калькулятора извлечем квадратный корень:

$d \approx 11.9540788...$

Округлив результат до сотых, получаем искомое расстояние.

Ответ: $d \approx 11,95$.

467. Сравните числа:

a) $\sqrt{7,5}<\sqrt{7,6}$

б) $\sqrt{0,1}>\sqrt{0,01}$

в) $\sqrt{\frac{1}{3}}>\sqrt{0,3}$

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}>\frac{3}{10} \\ \frac{10}{30}>\frac{9}{30} \end{gathered}$$

г) $\sqrt{2,16}<\sqrt{2\frac{1}{6}}$

$$\begin{gathered} 2\frac{16}{400}<2\frac{1}{6} \\ 2\frac{96}{600}<2\frac{100}{600} \end{gathered}$$

д) $\sqrt{\frac{5}{9}}>\sqrt{\frac{6}{11}}$

$$\begin{gathered} \frac{5}{9}>\frac{6}{11} \\ \frac{55}{99}>\frac{54}{99} \end{gathered}$$

е) $\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{0,\left(3\right)}$

$\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$

ж) $\sqrt{7}>2,6$

$$\begin{gathered} 7>2,6^2 \\ 7>6,76 \end{gathered}$$

з) $3,2>\sqrt{9,8}$

$$\begin{gathered} 3,2^2>9,8 \\ 10,24>9,8 \end{gathered}$$

и) $\sqrt{1,23}>1,1$

$$\begin{gathered} 1,23>1,1^2 \\ 1,23>1,21 \end{gathered}$$

а) Для сравнения чисел $\sqrt{7,5}$ и $\sqrt{7,6}$ воспользуемся свойством: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Сравним подкоренные выражения $7,5$ и $7,6$.
Поскольку $7,5 < 7,6$, то и $\sqrt{7,5} < \sqrt{7,6}$.
Ответ: $\sqrt{7,5} < \sqrt{7,6}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt{0,1}$ и $\sqrt{0,01}$, нужно сравнить их подкоренные выражения. Сравниваем $0,1$ и $0,01$.
Так как $0,1 > 0,01$, то отсюда следует, что $\sqrt{0,1} > \sqrt{0,01}$.
Ответ: $\sqrt{0,1} > \sqrt{0,01}$.

в) Сравним числа $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,3}$. Для этого сравним подкоренные выражения: $\frac{1}{3}$ и $0,3$. Приведем оба числа к виду обыкновенных дробей.
$0,3 = \frac{3}{10}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{10}$. Приведем их к общему знаменателю $30$:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{10}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
Так как $\frac{10}{30} > \frac{9}{30}$, то $\frac{1}{3} > 0,3$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{0,3}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{0,3}$.

г) Сравним числа $\sqrt{2,16}$ и $\sqrt{2\frac{1}{6}}$. Для этого необходимо сравнить подкоренные выражения $2,16$ и $2\frac{1}{6}$. Преобразуем смешанную дробь в десятичную.
$2\frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} = 2 + 0,1666... = 2,1(6)$.
Теперь сравним десятичные дроби $2,16$ и $2,1(6)$.
$2,16 = 2,1600...$
$2,1(6) = 2,1666...$
Очевидно, что $2,16 < 2,1(6)$.
Значит, $\sqrt{2,16} < \sqrt{2\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{2,16} < \sqrt{2\frac{1}{6}}$.

д) Чтобы сравнить $\sqrt{\frac{5}{9}}$ и $\sqrt{\frac{6}{11}}$, сравним дроби под корнями: $\frac{5}{9}$ и $\frac{6}{11}$.
Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 11 = 99$:
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{55}{99}$
$\frac{6}{11} = \frac{6 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{54}{99}$
Поскольку $\frac{55}{99} > \frac{54}{99}$, то $\frac{5}{9} > \frac{6}{11}$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{5}{9}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{5}{9}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.

е) Сравним числа $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,(3)}$. Для этого сравним подкоренные выражения $\frac{1}{3}$ и $0,(3)$.
Периодическая десятичная дробь $0,(3)$ (читается "ноль целых и три в периоде") представляет собой бесконечную дробь $0,333...$, которая равна обыкновенной дроби $\frac{1}{3}$.
Так как подкоренные выражения равны: $\frac{1}{3} = 0,(3)$, то и сами числа равны.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{0,(3)}$.

ж) Чтобы сравнить $\sqrt{7}$ и $2,6$, представим число $2,6$ в виде квадратного корня. Для этого возведем $2,6$ в квадрат и запишем результат под знаком корня: $2,6 = \sqrt{2,6^2}$.
Вычислим $2,6^2$: $2,6^2 = 2,6 \cdot 2,6 = 6,76$.
Таким образом, $2,6 = \sqrt{6,76}$.
Теперь сравнение сводится к сравнению $\sqrt{7}$ и $\sqrt{6,76}$. Так как $7 > 6,76$, то $\sqrt{7} > \sqrt{6,76}$.
Следовательно, $\sqrt{7} > 2,6$.
Ответ: $\sqrt{7} > 2,6$.

з) Для сравнения чисел $3,2$ и $\sqrt{9,8}$ возведем число $3,2$ в квадрат, чтобы оба числа можно было сравнивать под знаком корня. $3,2^2 = 3,2 \cdot 3,2 = 10,24$.
Таким образом, $3,2 = \sqrt{10,24}$.
Теперь сравним $\sqrt{10,24}$ и $\sqrt{9,8}$.
Поскольку $10,24 > 9,8$, то $\sqrt{10,24} > \sqrt{9,8}$.
Значит, $3,2 > \sqrt{9,8}$.
Ответ: $3,2 > \sqrt{9,8}$.

и) Сравним числа $\sqrt{1,23}$ и $1,1$. Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат одного числа больше квадрата другого, то и само число больше.
Возведем $1,1$ в квадрат: $1,1^2 = 1,21$.
Теперь сравним подкоренное выражение $1,23$ с результатом возведения в квадрат: $1,23$ и $1,21$.
Так как $1,23 > 1,21$, то $\sqrt{1,23} > \sqrt{1,21}$.
Поскольку $\sqrt{1,21} = 1,1$, получаем $\sqrt{1,23} > 1,1$.
Ответ: $\sqrt{1,23} > 1,1$.

468. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях b уравнение:

a) $\sqrt{x}=x+b$

$y=\sqrt{x}$

y=x+b - линейная функция, график-прямая

если b=0, то y=x

Ответ: 2 корня

если b<0, то 1 корень

Ответ: 1 корень

если b>0, то нет корней

Ответ: 0 корей

б) $\sqrt{x}=-x+b$

если b=0, то y=-x

Ответ: 1 корень

если b>0, то 1 корень

Ответ: 1 корень

если b<0, то корней нет

Для решения уравнения $\sqrt{x} = x+b$ графическим методом, рассмотрим графики двух функций: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = x+b$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.

График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Область определения функции: $x \ge 0$.

График функции $y_2 = x+b$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $b$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $Oy$. При изменении $b$ прямая перемещается вверх или вниз, оставаясь параллельной самой себе.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $b$.

1. Случай касания. Найдем значение $b$, при котором прямая $y=x+b$ касается графика $y=\sqrt{x}$. В точке касания угловые коэффициенты касательной к графику и прямой должны совпадать. Угловой коэффициент прямой равен 1. Угловой коэффициент касательной к графику $y=\sqrt{x}$ находится через производную: $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

   Приравнивая угловые коэффициенты, получаем: $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$, откуда $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$, то есть $x = \frac{1}{4}$. Ордината точки касания: $y = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

   Подставим координаты точки касания $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$ в уравнение прямой $y=x+b$: $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + b$. Отсюда находим $b = \frac{1}{4}$. При $b = \frac{1}{4}$ прямая касается графика, значит, уравнение имеет один корень.

2. Нет пересечений. Если $b > \frac{1}{4}$, прямая $y=x+b$ расположена выше касательной и не имеет общих точек с графиком $y=\sqrt{x}$. В этом случае уравнение не имеет корней.

3. Два или одно пересечение. Если $b < \frac{1}{4}$, прямая $y=x+b$ расположена ниже касательной. Этот случай необходимо разделить на два подслучая:

   • При $0 \le b < \frac{1}{4}$ прямая пересекает ось $Oy$ в неотрицательной точке $(0, b)$. Она пересекает график $y=\sqrt{x}$ в двух точках. Например, при $b=0$ уравнение $\sqrt{x}=x$ имеет два корня: $x=0$ и $x=1$.

   • При $b < 0$ прямая пересекает ось $Oy$ в отрицательной части. Так как график $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0,0)$ и уходит в бесконечность вправо и вверх, прямая $y=x+b$ пересечет его ровно в одной точке.

Итак, обобщим результаты:

• если $b > \frac{1}{4}$, корней нет (0 корней);

• если $b = \frac{1}{4}$ или $b < 0$, есть один корень;

• если $0 \le b < \frac{1}{4}$, есть два корня.

Ответ: уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от значения $b$.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x} = -x+b$. Для определения количества корней построим и проанализируем графики функций $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = -x+b$.

График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$.

График функции $y_2 = -x+b$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-1$. Параметр $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Проанализируем количество точек пересечения графиков в зависимости от $b$.

1. Нет пересечений. Если $b < 0$, то прямая $y = -x+b$ пересекает ось $Oy$ в точке $(0, b)$ с отрицательной ординатой. Поскольку угловой коэффициент прямой отрицательный, при $x \ge 0$ вся прямая будет лежать в четвертой координатной четверти, где $y \le b < 0$. График $y=\sqrt{x}$ целиком лежит в первой четверти, где $y \ge 0$. Таким образом, графики не могут пересечься, и уравнение не имеет корней.

2. Одно пересечение. Если $b \ge 0$, то прямая $y = -x+b$ пересекает ось $Oy$ в точке $(0, b)$ с неотрицательной ординатой. График функции $y = \sqrt{x}$ является возрастающей функцией, начинающейся в точке $(0,0)$. График функции $y = -x+b$ является убывающей функцией. Возрастающая и убывающая непрерывные функции могут пересечься не более одного раза. Так как при $x=0$ значение первой функции равно 0, а второй — $b \ge 0$, а при $x \to \infty$ первая функция стремится к $+\infty$, а вторая к $-\infty$, то графики обязательно пересекутся, причем ровно в одной точке. Это означает, что уравнение имеет ровно один корень.

Итак, обобщим результаты:

• если $b < 0$, корней нет (0 корней);

• если $b \ge 0$, есть один корень.

Ответ: уравнение может иметь 0 или 1 корень в зависимости от значения $b$.

469. Вычислите:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{196·0,81·0,36}=\sqrt{196}·\sqrt{0,81}·\sqrt{0,36}= \\ =14·0,9·0,6=7,56 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{1\frac{9}{16}·5\frac{4}{9}·0,01}=\sqrt{\frac{25}{16}·\frac{49}{9}·0,01}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{25}{16}}·\sqrt{\frac{49}{9}}·\sqrt{0,01}=\frac{5}{4}·\frac{7}{3}·0,1= \\ =\frac{35}{12}·\frac{1}{10}=\frac{7}{12·2}=\frac{7}{24} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} \sqrt{0,87·49+0,82·49}=\sqrt{49·(0,87+0,82)}= \\ =\sqrt{49·1,69}=\sqrt{49}·\sqrt{1,69}=7·1,3=9,1 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{1,44·1,21-1,44·0,4}=\sqrt{1,44·(1,21-0,4)}= \\ =\sqrt{1,44·0,81}=\sqrt{1,44}·\sqrt{0,81}=1,2·0,9=1,08 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36}$ воспользуемся свойством квадратного корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{0,36}$.
Теперь вычислим значение каждого корня по отдельности:
$\sqrt{196} = 14$ (поскольку $14^2 = 196$)
$\sqrt{0,81} = 0,9$ (поскольку $0,9^2 = 0,81$)
$\sqrt{0,36} = 0,6$ (поскольку $0,6^2 = 0,36$)
Осталось перемножить полученные результаты:
$14 \cdot 0,9 \cdot 0,6 = 12,6 \cdot 0,6 = 7,56$.
Ответ: 7,56

б) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 5\frac{4}{9} \cdot 0,01}$, сперва преобразуем все числа под корнем в удобный для вычислений вид. Смешанные дроби переведем в неправильные, а десятичную дробь — в обыкновенную.
$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$
$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}$
$0,01 = \frac{1}{100}$
Теперь подставим эти значения обратно в выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{25}{16} \cdot \frac{49}{9} \cdot \frac{1}{100}}$.
Используя свойство корня из произведения, получим:
$\sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{\frac{49}{9}} \cdot \sqrt{\frac{1}{100}}$.
Теперь извлечем корень из каждой дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{10}$.
Перемножим полученные дроби:
$\frac{5 \cdot 7 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 10} = \frac{35}{120}$.
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{35}{120} = \frac{7 \cdot 5}{24 \cdot 5} = \frac{7}{24}$.
Ответ: $\frac{7}{24}$

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,87 \cdot 49 + 0,82 \cdot 49}$ заметим, что под корнем есть общий множитель 49. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения.
$\sqrt{49 \cdot (0,87 + 0,82)}$.
Выполним действие в скобках:
$0,87 + 0,82 = 1,69$.
Выражение примет вид:
$\sqrt{49 \cdot 1,69}$.
Теперь воспользуемся свойством корня из произведения:
$\sqrt{49} \cdot \sqrt{1,69}$.
Вычислим каждый корень:
$\sqrt{49} = 7$
$\sqrt{1,69} = 1,3$ (поскольку $1,3^2 = 1,69$)
Перемножим результаты:
$7 \cdot 1,3 = 9,1$.
Ответ: 9,1

г) В выражении $\sqrt{1,44 \cdot 1,21 - 1,44 \cdot 0,4}$ также есть общий множитель под корнем — 1,44. Вынесем его за скобки.
$\sqrt{1,44 \cdot (1,21 - 0,4)}$.
Выполним вычитание в скобках:
$1,21 - 0,4 = 0,81$.
Выражение примет вид:
$\sqrt{1,44 \cdot 0,81}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{1,44} \cdot \sqrt{0,81}$.
Вычислим каждый корень:
$\sqrt{1,44} = 1,2$ (поскольку $1,2^2 = 1,44$)
$\sqrt{0,81} = 0,9$ (поскольку $0,9^2 = 0,81$)
Перемножим полученные значения:
$1,2 \cdot 0,9 = 1,08$.
Ответ: 1,08

470. Найдите значение корня:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\sqrt{\frac{{165}^2-{124}^2}{164}}=\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}}= \\ =\sqrt{\frac{41·289}{164}}=\sqrt{\frac{289}{4}}=\frac{17}{2}=8,5 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{\frac{98}{{176}^2-{112}^2}}=\sqrt{\frac{98}{(176-112)(176+112)}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{98}{64·288}}=\sqrt{\frac{49}{64·144}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64·144}}= \\ =\frac{7}{\sqrt{64}·\sqrt{144}}=\frac{7}{8·12}=\frac{7}{96} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{\frac{{149}^2-{76}^2}{{459}^2-{384}^2}}=\sqrt{\frac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}}= \\ \sqrt{\frac{73·225}{73·841}}=\sqrt{\frac{225}{841}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}}=\frac{15}{29} \end{gathered}$$

г) $\sqrt{\frac{145,5^2-96,5^2}{193,5^2-31,5^2}}=\sqrt{\frac{(145,5-96,5)(145,5+96,5)}{(193,5-31,5)(193,5+31,5)}}=$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{49·242}{162·225}}=\sqrt{\frac{49·121}{81·225}}=\frac{\sqrt{49·121}}{\sqrt{81·225}}= \\ =\frac{\sqrt{49}·\sqrt{121}}{\sqrt{81}·\sqrt{225}}=\frac{7·11}{9·15}=\frac{77}{135} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение корня, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в числителе подкоренного выражения.
$\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{(165 - 124)(165 + 124)}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}}$
Теперь сократим дробь, заметив, что $164 = 4 \cdot 41$.
$\sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}}$
Извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя:
$\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5$
Ответ: $8,5$

б) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в знаменателе подкоренного выражения.
$\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} = \sqrt{\frac{98}{(176 - 112)(176 + 112)}} = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}}$
Упростим дробь под корнем. Разложим числитель и знаменатель на множители: $98 = 2 \cdot 49$ и $288 = 2 \cdot 144$.
$\sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot (2 \cdot 144)}} = \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}}$
Извлечем квадратный корень:
$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64 \cdot 144}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = \frac{7}{8 \cdot 12} = \frac{7}{96}$
Ответ: $\frac{7}{96}$

в) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражениям в числителе и знаменателе.
Числитель: $149^2 - 76^2 = (149 - 76)(149 + 76) = 73 \cdot 225$.
Знаменатель: $457^2 - 384^2 = (457 - 384)(457 + 384) = 73 \cdot 841$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}} = \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}}$
Сократим дробь на общий множитель 73:
$\sqrt{\frac{225}{841}}$
Извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя ($ \sqrt{225} = 15 $ и $ \sqrt{841} = 29 $):
$\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}} = \frac{15}{29}$
Ответ: $\frac{15}{29}$

г) Снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю и знаменателю.
Числитель: $145,5^2 - 96,5^2 = (145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5) = 49 \cdot 242$.
Знаменатель: $193,5^2 - 31,5^2 = (193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5) = 162 \cdot 225$.
Подставим эти значения в выражение:
$\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}}$
Упростим дробь, разложив $242 = 2 \cdot 121$ и $162 = 2 \cdot 81$, и сократим на 2:
$\sqrt{\frac{49 \cdot (2 \cdot 121)}{(2 \cdot 81) \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}}$
Извлечем квадратный корень:
$\frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135}$
Ответ: $\frac{77}{135}$