Страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

427. Докажите, что значение выражения:

a) $\frac{1}{3\sqrt{3}-4}-\frac{1}{3\sqrt{3}+4}=\frac{(3\sqrt{3}+4)-(3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)}=$

$=\frac{3\sqrt{3}+4-3\sqrt{3}+4}{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2-4^2}=\frac{8}{9·3-16}=\frac{8}{27-16}=\frac{8}{11}$

б) $\frac{1}{5-2\sqrt{6}}-\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=\frac{(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{5+2\sqrt{6}-5+2\sqrt{6}}{5^2-{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{6}}{25-4·6}=\frac{4\sqrt{6}}{25-24}= \\ =\frac{4\sqrt{6}}{1}=4\sqrt{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить его. Приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{1}{3\sqrt{3}-4} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4} $

Общим знаменателем является произведение знаменателей дробей: $ (3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4) $. Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

Знаменатель: $ (3\sqrt{3})^2 - 4^2 = 9 \cdot 3 - 16 = 27 - 16 = 11 $.

Теперь преобразуем числитель:

$ \frac{1 \cdot (3\sqrt{3}+4)}{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)} - \frac{1 \cdot (3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)} = \frac{(3\sqrt{3}+4) - (3\sqrt{3}-4)}{11} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3\sqrt{3}+4 - 3\sqrt{3}+4}{11} = \frac{8}{11} $

Результат $ \frac{8}{11} $ является рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ и $ q $ — целые числа, и $ q \neq 0 $. Что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно $ \frac{8}{11} $, что является рациональным числом.

б) Чтобы доказать, что значение выражения является иррациональным числом, также упростим его, приведя дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{1}{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{5+2\sqrt{6}} $

Общий знаменатель: $ (5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) $. Снова используем формулу разности квадратов.

Знаменатель: $ 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $.

Преобразуем числитель:

$ \frac{1 \cdot (5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} - \frac{1 \cdot (5-2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} = \frac{(5+2\sqrt{6}) - (5-2\sqrt{6})}{1} $

Раскроем скобки в числителе:

$ 5+2\sqrt{6} - 5+2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} $

Результат равен $ 4\sqrt{6} $. Число $ \sqrt{6} $ является иррациональным, так как 6 не является полным квадратом. Произведение рационального числа (4) на иррациональное ($ \sqrt{6} $) является иррациональным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно $ 4\sqrt{6} $, что является иррациональным числом.

428. Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:

a) $\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\frac{\sqrt{5}+2}{1}=\sqrt{5}+2 \\ \begin{array}{cc}2<\sqrt{5}<3; & 2+2<\sqrt{5}+2<3+2;\\ & 4<\sqrt{5}+2<5\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: между 4 и 5

б) $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3)}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}= \\ =\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{3} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}2<\sqrt{5}<3\\ 1<\sqrt{3}<2\end{array}\\ & \overline{3<\sqrt{5}+\sqrt{3}<5}\end{array} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}2,2<\sqrt{5}<2,3\\ 1,7<\sqrt{3}<1,8\end{array}\\ & \overline{3,9<\sqrt{5}+\sqrt{3}<4,1}\end{array} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}2,23<\sqrt{5}<2,24\\ 1,73<\sqrt{3}<1,74\end{array}\\ & \overline{3,96<\sqrt{5}+\sqrt{3}<3,98}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: между 4 и 5

в) $\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}3<\sqrt{10}<4\\ -3<-\sqrt{7}<-2\end{array}\\ & \overline{0<\sqrt{10}-\sqrt{7}<2}\end{array} \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}3,1<\sqrt{10}<3,2\\ -2,7<-\sqrt{7}<-2,6\end{array}\\ & \overline{0,4<\sqrt{10}-\sqrt{7}<0,6}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: между 0 и 1

г) $\frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{5\sqrt{3}-10+9-6\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2^2}=\frac{-1-\sqrt{3}}{3-4}= \\ =\frac{-(1+\sqrt{3})}{-1}=\sqrt{3}+1 \\ 1<\sqrt{3}<2 \\ 2<\sqrt{3}+1<3 \end{gathered}$$

Ответ: между 2 и 3

а) Чтобы определить, между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения $ \frac{1}{\sqrt{5}-2} $, сначала избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $ (\sqrt{5}+2) $.

Выполним преобразование:

$ \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \frac{\sqrt{5}+2}{1} = \sqrt{5}+2 $.

Теперь оценим значение выражения $ \sqrt{5}+2 $. Известно, что $ 4 < 5 < 9 $, следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} $, что равносильно $ 2 < \sqrt{5} < 3 $. Прибавим ко всем частям этого двойного неравенства число 2:

$ 2+2 < \sqrt{5}+2 < 3+2 $

$ 4 < \sqrt{5}+2 < 5 $

Таким образом, значение выражения заключено между числами 4 и 5.

Ответ: 4 и 5.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ (\sqrt{5}+\sqrt{3}) $:

$ \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3} $.

Теперь оценим значение выражения $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $. Мы знаем, что $ 2 < \sqrt{5} < 3 $ и $ 1 < \sqrt{3} < 2 $. Сложение этих неравенств дает $ 3 < \sqrt{5}+\sqrt{3} < 5 $, что не позволяет определить два последовательных целых числа. Поэтому используем более точный метод сравнения. Сравним $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $ с числом 4. Так как обе части положительны, можно возвести их в квадрат:

$ (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 $ vs $ 4^2 $

$ (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 $ vs $ 16 $

$ 5 + 2\sqrt{15} + 3 $ vs $ 16 $

$ 8 + 2\sqrt{15} $ vs $ 16 $

$ 2\sqrt{15} $ vs $ 8 $

$ \sqrt{15} $ vs $ 4 $

$ 15 < 16 $, следовательно, $ \sqrt{15} < 4 $, а значит $ \sqrt{5}+\sqrt{3} < 4 $.

Теперь сравним $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $ с числом 3. Возведем в квадрат:

$ (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 $ vs $ 3^2 $

$ 8 + 2\sqrt{15} $ vs $ 9 $

$ 2\sqrt{15} $ vs $ 1 $

Очевидно, что $ 2\sqrt{15} > 1 $, так как $ \sqrt{15} > \sqrt{1} $. Значит $ \sqrt{5}+\sqrt{3} > 3 $.

Из полученных неравенств $ 3 < \sqrt{5}+\sqrt{3} < 4 $ следует, что значение выражения находится между 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

в) Упростим выражение $ \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} $, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{10}-\sqrt{7}) $:

$ \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3} = \sqrt{10}-\sqrt{7} $.

Оценим значение $ \sqrt{10}-\sqrt{7} $. Поскольку $ 10 > 7 $, то $ \sqrt{10} > \sqrt{7} $, и разность $ \sqrt{10}-\sqrt{7} $ положительна, то есть $ \sqrt{10}-\sqrt{7} > 0 $. Сравним $ \sqrt{10}-\sqrt{7} $ с 1. Предположим, что $ \sqrt{10}-\sqrt{7} < 1 $. Перепишем неравенство как $ \sqrt{10} < 1+\sqrt{7} $. Поскольку обе части положительны, возведем их в квадрат:

$ (\sqrt{10})^2 < (1+\sqrt{7})^2 $

$ 10 < 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 $

$ 10 < 1 + 2\sqrt{7} + 7 $

$ 10 < 8 + 2\sqrt{7} $

$ 2 < 2\sqrt{7} $

$ 1 < \sqrt{7} $

Последнее неравенство верно, так как $ 1^2 = 1 $, а $ (\sqrt{7})^2 = 7 $. Значит, исходное предположение было верным.

Таким образом, $ 0 < \sqrt{10}-\sqrt{7} < 1 $, и значение выражения заключено между 0 и 1.

Ответ: 0 и 1.

г) Преобразуем выражение $ \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2} $. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ (2-\sqrt{3}) $:

$ \frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(5+3\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{5 \cdot 2 - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 2 - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{10 - 5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3 \cdot 3}{4-3} = \frac{10 + \sqrt{3} - 9}{1} = 1+\sqrt{3} $.

Теперь оценим значение $ 1+\sqrt{3} $. Известно, что $ 1 < 3 < 4 $, значит $ \sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4} $, то есть $ 1 < \sqrt{3} < 2 $. Прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:

$ 1+1 < 1+\sqrt{3} < 1+2 $

$ 2 < 1+\sqrt{3} < 3 $

Следовательно, значение выражения заключено между целыми числами 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

429. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{x}{x+\sqrt{y}}=\frac{x(x-\sqrt{y})}{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}=\frac{x^2-x\sqrt{y}}{x^2-y}$

б) $\frac{b}{a-\sqrt{b}}=\frac{b(a+\sqrt{b})}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})}=\frac{ab+b\sqrt{b}}{a^2-b}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{10}+\sqrt{2})}= \\ =\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{10-2}=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{8}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

г) $\frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{3-6}=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{-3}= \\ =-4(\sqrt{3}-\sqrt{6})=-4\sqrt{3}+4\sqrt{6}=4\sqrt{6}-4\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{9}{3-2\sqrt{2}}=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}= \\ =\frac{9(3+2\sqrt{2})}{9-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{9-8}= \\ =9(3+2\sqrt{2})=27+18\sqrt{2} \end{gathered}$$

е) $\frac{14}{1+5\sqrt{2}}=\frac{14(1-5\sqrt{2})}{(1+5\sqrt{2})(1-5\sqrt{2})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{14(1-5\sqrt{2})}{1-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{14(1-5\sqrt{2})}{1-50}= \\ =\frac{14(1-5\sqrt{2})}{-49}=\frac{2(1-5\sqrt{2})}{-7}=-\frac{2-10\sqrt{2}}{7} \end{gathered}$$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. При этом используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, что позволяет избавиться от корней в знаменателе.

а) Исходная дробь: $\frac{x}{x + \sqrt{y}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $x + \sqrt{y}$ является $x - \sqrt{y}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:

$\frac{x}{x + \sqrt{y}} = \frac{x(x - \sqrt{y})}{(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y}$.

Ответ: $\frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y}$.

б) Исходная дробь: $\frac{b}{a - \sqrt{b}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $a - \sqrt{b}$ является $a + \sqrt{b}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:

$\frac{b}{a - \sqrt{b}} = \frac{b(a + \sqrt{b})}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - b}$.

Ответ: $\frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - b}$.

в) Исходная дробь: $\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $\sqrt{10} - \sqrt{2}$ является $\sqrt{10} + \sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:

$\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{10 - 2} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8}$.

Сократим полученную дробь на 4:

$\frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$.

г) Исходная дробь: $\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $\sqrt{3} + \sqrt{6}$ является $\sqrt{3} - \sqrt{6}$. Для удобства вычислений и получения положительного знаменателя, поменяем слагаемые в знаменателе местами: $\sqrt{6} + \sqrt{3}$. Тогда сопряженное выражение будет $\sqrt{6} - \sqrt{3}$.

$\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{6 - 3} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{3}$.

Сократим дробь на 3:

$4(\sqrt{6} - \sqrt{3})$.

Ответ: $4(\sqrt{6} - \sqrt{3})$.

д) Исходная дробь: $\frac{9}{3 - 2\sqrt{2}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $3 - 2\sqrt{2}$ является $3 + 2\sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$\frac{9}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 4 \cdot 2} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{1} = 27 + 18\sqrt{2}$.

Ответ: $27 + 18\sqrt{2}$.

е) Исходная дробь: $\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}}$.

Сопряженным выражением для знаменателя $1 + 5\sqrt{2}$ является $1 - 5\sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{(1 + 5\sqrt{2})(1 - 5\sqrt{2})} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1^2 - (5\sqrt{2})^2} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1 - 25 \cdot 2} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1 - 50} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{-49}$.

Сократим дробь на 7 и избавимся от минуса в знаменателе:

$\frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{-49} = \frac{2(1 - 5\sqrt{2})}{-7} = -\frac{2(1 - 5\sqrt{2})}{7} = \frac{2(5\sqrt{2} - 1)}{7} = \frac{10\sqrt{2} - 2}{7}$.

Ответ: $\frac{10\sqrt{2} - 2}{7}$.

430. Докажите, что:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }\sqrt{\frac{3}{5}}=0,2\sqrt{15} \\ {\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)}^2={(0,2\sqrt{15})}^2 \\ \frac{3}{5}=0,04·15 \\ 0,6=0,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\sqrt{\frac{2}{a}}=\frac{1}{a}\sqrt{2a} \\ {\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\right)}^2={\left(\frac{1}{a}\sqrt{2a}\right)}^2 \\ \frac{2}{a}=\frac{1}{a^2}·2a \\ \frac{2}{a}=\frac{2}{a} \end{gathered}$$

а) Для доказательства данного тождества преобразуем обе его части к одному и тому же виду.

1. Преобразуем левую часть. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, воспользуемся свойством корня из дроби и умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

2. Преобразуем правую часть. Переведем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Тогда правая часть равенства принимает вид:

$0,2\sqrt{15} = \frac{1}{5}\sqrt{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же выражению $\frac{\sqrt{15}}{5}$, тождество является верным.

Ответ: Равенство $\sqrt{\frac{3}{5}} = 0,2\sqrt{15}$ доказано.

б) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Заметим, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $a > 0$.

Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{a}$:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2a}}{a}$

Полученное выражение можно записать в виде произведения, вынеся множитель $\frac{1}{a}$:

$\frac{\sqrt{2a}}{a} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}$

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}$ доказано.

431. Докажите, что числа 2 –3 и 2 +3 являются взаимно обратными, а числа 26- 5 и 126 + 5 — противоположными.

$$\begin{gathered} \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1 \\ 2\sqrt{6}-5 \text{и }\frac{1}{2\sqrt{6}+5}=\frac{2\sqrt{6}-5}{(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)}= \\ =\frac{2\sqrt{6}-5}{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-5^2}=\frac{2\sqrt{6}-5}{24-25}=\frac{2\sqrt{6}-5}{-1}= \\ =-(2\sqrt{6}-5) \end{gathered}$$

Докажем, что числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются взаимно обратными.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Проверим это условие для данных чисел, найдя их произведение.

$(2 - \sqrt{3}) \cdot (2 + \sqrt{3})$

Мы можем использовать формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Поскольку произведение данных чисел равно 1, они действительно являются взаимно обратными.

Ответ: Произведение чисел $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ равно 1, следовательно, они являются взаимно обратными.

Докажем, что числа $2\sqrt{6}-5$ и $\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$ являются противоположными.

Два числа называются противоположными, если их сумма равна 0. Проверим это условие для данных чисел, найдя их сумму.

$(2\sqrt{6}-5) + \frac{1}{2\sqrt{6}+5}$

Для того чтобы сложить эти выражения, сначала упростим второе слагаемое. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $2\sqrt{6}-5$.

$\frac{1}{2\sqrt{6}+5} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{6}-5)}{(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)}$

Применим в знаменателе формулу разности квадратов:

$\frac{2\sqrt{6}-5}{(2\sqrt{6})^2 - 5^2} = \frac{2\sqrt{6}-5}{4 \cdot 6 - 25} = \frac{2\sqrt{6}-5}{24 - 25} = \frac{2\sqrt{6}-5}{-1} = -(2\sqrt{6}-5) = 5 - 2\sqrt{6}$

Теперь мы можем вычислить сумму исходных чисел:

$(2\sqrt{6}-5) + (5 - 2\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 5 + 5 - 2\sqrt{6} = 0$

Поскольку сумма данных чисел равна 0, они являются противоположными.

Ответ: Сумма чисел $2\sqrt{6}-5$ и $\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$ равна 0, следовательно, они являются противоположными.

432. Среди чисел есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.

$$\begin{gathered} (15\sqrt{3}-4\sqrt{2})·\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}= \\ =(15\sqrt{3}-4\sqrt{2})·\frac{1}{\sqrt{225·3}-\sqrt{16·2}}= \\ =\frac{15\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{15\sqrt{3}-4\sqrt{2}}=1 \end{gathered}$$

Значит, пара чисел $15\sqrt{3}-4\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}$ - взаимно обратные

$$\begin{gathered} \sqrt{80}-5\sqrt{3}=\sqrt{16·5}-5\sqrt{3}=4\sqrt{5}-5\sqrt{3} \\ \sqrt{75}-4\sqrt{5}=\sqrt{25·3}-4\sqrt{5}=5\sqrt{3}-4\sqrt{5}= \\ =-(4\sqrt{5}-5\sqrt{3}) \end{gathered}$$

Значит, пара чисел $\sqrt{80}-5\sqrt{3}$ и $\sqrt{75}-4\sqrt{5}$ - противоположные

Для того чтобы найти требуемые пары чисел, необходимо упростить каждое из данных выражений, вынеся множители из-под знака корня, где это возможно.

1. $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ — данное выражение уже представлено в простейшем виде.

2. $6 - \sqrt{12} = 6 - \sqrt{4 \cdot 3} = 6 - 2\sqrt{3}$.

3. $\sqrt{80} - 5\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 5} - 5\sqrt{3} = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$.

4. $\sqrt{75} - 4\sqrt{5} = \sqrt{25 \cdot 3} - 4\sqrt{5} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}$.

5. $\frac{1}{2\sqrt{3} - 6}$. Это выражение связано со вторым числом: $2\sqrt{3} - 6 = -(6 - 2\sqrt{3})$.

6. $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$. Упростим корни в знаменателе:
$\sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
Таким образом, выражение принимает вид: $\frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}$.

Теперь, когда все числа приведены к более простому виду, найдем искомые пары.

Пара противоположных чисел

Противоположными называются числа, сумма которых равна нулю (например, $a$ и $-a$).
Сравним упрощенные выражения. Заметим, что число $\sqrt{75} - 4\sqrt{5}$, равное $5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}$, является противоположным числу $\sqrt{80} - 5\sqrt{3}$, равному $4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$, так как:
$5\sqrt{3} - 4\sqrt{5} = -(4\sqrt{5} - 5\sqrt{3})$.
Проверим их сумму:
$(\sqrt{80} - 5\sqrt{3}) + (\sqrt{75} - 4\sqrt{5}) = (4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 0$.
Сумма равна нулю, следовательно, эти числа являются противоположными.
Ответ: $\sqrt{80} - 5\sqrt{3}$ и $\sqrt{75} - 4\sqrt{5}$.

Пара взаимно обратных чисел

Взаимно обратными называются числа, произведение которых равно единице (например, $a$ и $\frac{1}{a}$).
Рассмотрим число $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ и число $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$.
Мы уже показали, что $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} = \frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}$.
Очевидно, что второе число является обратным к первому. Найдем их произведение для проверки:
$(15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}} = 1$.
Произведение равно единице, следовательно, эти числа являются взаимно обратными.
Ответ: $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$.

433. Упростите выражение 9 - x²4x ∙ 8xx² + 6x + 9- 2 и найдите его значение при x = –2,5.

$$\begin{gathered} \frac{9-x^2}{4x}·\frac{8x}{x^2+6x+9}-2=\frac{(3-x)(3+x)·8x}{4x·{(x+3)}^2}-2= \\ =\frac{(3-x)·8x}{4x·(x+3)}-2=\frac{2(3-x)}{x+3}-2= \\ =\frac{2(3-x)-2(x+3)}{x+3}=\frac{6-2x-2x-6}{x+3}=\frac{-4x}{x+3} \end{gathered}$$

при x=-2,5

$\frac{-4·(-2,5)}{-2,5+3}=\frac{10}{0,5}=\frac{100}{5}=20$

Упростите выражение

Исходное выражение: $\frac{9-x^2}{4x} \cdot \frac{8x}{x^2 + 6x + 9} - 2$.

Для упрощения сначала выполним умножение дробей. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $9-x^2$ — это разность квадратов:

$9-x^2 = (3-x)(3+x)$

Знаменатель $x^2+6x+9$ — это полный квадрат суммы:

$x^2+6x+9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$

Подставим полученные разложения в первую часть выражения:

$\frac{(3-x)(3+x)}{4x} \cdot \frac{8x}{(x+3)^2}$

Теперь сократим общие множители. Заметим, что $3+x = x+3$. Область допустимых значений для этого выражения: $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

$\frac{(3-x)\cancel{(x+3)}}{\cancel{4x}} \cdot \frac{2\cancel{(4x)}}{(x+3)^{\cancel{2}}} = \frac{2(3-x)}{x+3}$

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$\frac{2(3-x)}{x+3} - 2$

Приведем к общему знаменателю $(x+3)$:

$\frac{2(3-x)}{x+3} - \frac{2(x+3)}{x+3} = \frac{2(3-x) - 2(x+3)}{x+3}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{6 - 2x - 2x - 6}{x+3} = \frac{-4x}{x+3}$

Ответ: $\frac{-4x}{x+3}$

Найдите его значение при x = -2,5

Подставим значение $x = -2,5$ в упрощенное выражение $\frac{-4x}{x+3}$.

$\frac{-4 \cdot (-2,5)}{-2,5 + 3}$

Вычислим значение числителя и знаменателя:

$-4 \cdot (-2,5) = 10$

$-2,5 + 3 = 0,5$

Теперь выполним деление:

$\frac{10}{0,5} = 20$

Ответ: 20

434. Решите уравнение:

а) 3x - 12 + 2 - x3+ 1 = 0;

б) y - 106 - 5 - 2y4= 2,5.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{3x-1}{2}}+{\displaystyle \frac{2-x}{3}}+1=0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·6$}\right. \\ 3(3x-1)+2(2-x)+6=0 \\ 9x-3+4-2x+6=0 \\ 7x+7=0 \\ 7x=-7 \\ x=-1 \\ \text{Ответ:} -1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{y-10}{6}}-{\displaystyle \frac{5-2y}{4}}=2,5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·12$}\right. \\ 2(y-10)-3(5-2y)=30 \\ 2y-20-15+6y=30 \\ 8y-35=30 \\ 8y=65 \\ y=\frac{65}{8} \\ y=8\frac{1}{8} \\ \text{Ответ:} 8\frac{1}{8} \end{gathered}$$

а) $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-x}{3} + 1 = 0 $

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 3, которое равно 6.

$ 6 \cdot \left( \frac{3x-1}{2} + \frac{2-x}{3} + 1 \right) = 6 \cdot 0 $

$ 6 \cdot \frac{3x-1}{2} + 6 \cdot \frac{2-x}{3} + 6 \cdot 1 = 0 $

Сократим дроби, умножив числители на результат деления НОК на знаменатель:

$ 3 \cdot (3x-1) + 2 \cdot (2-x) + 6 = 0 $

Теперь раскроем скобки:

$ 9x - 3 + 4 - 2x + 6 = 0 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с x и свободные члены):

$ (9x - 2x) + (-3 + 4 + 6) = 0 $

$ 7x + 7 = 0 $

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:

$ 7x = -7 $

Найдем x, разделив обе части на 7:

$ x = \frac{-7}{7} $

$ x = -1 $

Ответ: $ x = -1 $.

б) $ \frac{y-10}{6} - \frac{5-2y}{4} = 2,5 $

Для начала избавимся от дробей. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 4. НОК(6, 4) = 12. Также представим десятичную дробь 2,5 в виде обыкновенной: $ 2,5 = \frac{5}{2} $.

Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot \left( \frac{y-10}{6} - \frac{5-2y}{4} \right) = 12 \cdot 2,5 $

$ 12 \cdot \frac{y-10}{6} - 12 \cdot \frac{5-2y}{4} = 30 $

Сократим дроби:

$ 2 \cdot (y-10) - 3 \cdot (5-2y) = 30 $

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью меняет знаки у всех членов в скобках:

$ 2y - 20 - 15 + 6y = 30 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ (2y + 6y) + (-20 - 15) = 30 $

$ 8y - 35 = 30 $

Перенесем свободный член в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$ 8y = 30 + 35 $

$ 8y = 65 $

Найдем y, разделив обе части на 8:

$ y = \frac{65}{8} $

Ответ можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в десятичную:

$ y = 8,125 $

Ответ: $ y = \frac{65}{8} $ (или $ y = 8,125 $).