Номер 427, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 427, страница 102.

427. Докажите, что значение выражения:

a) $\frac{1}{3\sqrt{3}-4}-\frac{1}{3\sqrt{3}+4}=\frac{(3\sqrt{3}+4)-(3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)}=$

$=\frac{3\sqrt{3}+4-3\sqrt{3}+4}{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2-4^2}=\frac{8}{9·3-16}=\frac{8}{27-16}=\frac{8}{11}$

б) $\frac{1}{5-2\sqrt{6}}-\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=\frac{(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{5+2\sqrt{6}-5+2\sqrt{6}}{5^2-{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{6}}{25-4·6}=\frac{4\sqrt{6}}{25-24}= \\ =\frac{4\sqrt{6}}{1}=4\sqrt{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить его. Приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{1}{3\sqrt{3}-4} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4} $

Общим знаменателем является произведение знаменателей дробей: $ (3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4) $. Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

Знаменатель: $ (3\sqrt{3})^2 - 4^2 = 9 \cdot 3 - 16 = 27 - 16 = 11 $.

Теперь преобразуем числитель:

$ \frac{1 \cdot (3\sqrt{3}+4)}{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)} - \frac{1 \cdot (3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)} = \frac{(3\sqrt{3}+4) - (3\sqrt{3}-4)}{11} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3\sqrt{3}+4 - 3\sqrt{3}+4}{11} = \frac{8}{11} $

Результат $ \frac{8}{11} $ является рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ и $ q $ — целые числа, и $ q \neq 0 $. Что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно $ \frac{8}{11} $, что является рациональным числом.

б) Чтобы доказать, что значение выражения является иррациональным числом, также упростим его, приведя дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{1}{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{5+2\sqrt{6}} $

Общий знаменатель: $ (5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) $. Снова используем формулу разности квадратов.

Знаменатель: $ 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $.

Преобразуем числитель:

$ \frac{1 \cdot (5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} - \frac{1 \cdot (5-2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} = \frac{(5+2\sqrt{6}) - (5-2\sqrt{6})}{1} $

Раскроем скобки в числителе:

$ 5+2\sqrt{6} - 5+2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} $

Результат равен $ 4\sqrt{6} $. Число $ \sqrt{6} $ является иррациональным, так как 6 не является полным квадратом. Произведение рационального числа (4) на иррациональное ($ \sqrt{6} $) является иррациональным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно $ 4\sqrt{6} $, что является иррациональным числом.