Номер 431, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 431, страница 102.

431. Докажите, что числа 2 –3 и 2 +3 являются взаимно обратными, а числа 26- 5 и 126 + 5 — противоположными.

$$\begin{gathered} \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1 \\ 2\sqrt{6}-5 \text{и }\frac{1}{2\sqrt{6}+5}=\frac{2\sqrt{6}-5}{(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)}= \\ =\frac{2\sqrt{6}-5}{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-5^2}=\frac{2\sqrt{6}-5}{24-25}=\frac{2\sqrt{6}-5}{-1}= \\ =-(2\sqrt{6}-5) \end{gathered}$$

Докажем, что числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются взаимно обратными.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Проверим это условие для данных чисел, найдя их произведение.

$(2 - \sqrt{3}) \cdot (2 + \sqrt{3})$

Мы можем использовать формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Поскольку произведение данных чисел равно 1, они действительно являются взаимно обратными.

Ответ: Произведение чисел $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ равно 1, следовательно, они являются взаимно обратными.

Докажем, что числа $2\sqrt{6}-5$ и $\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$ являются противоположными.

Два числа называются противоположными, если их сумма равна 0. Проверим это условие для данных чисел, найдя их сумму.

$(2\sqrt{6}-5) + \frac{1}{2\sqrt{6}+5}$

Для того чтобы сложить эти выражения, сначала упростим второе слагаемое. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $2\sqrt{6}-5$.

$\frac{1}{2\sqrt{6}+5} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{6}-5)}{(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)}$

Применим в знаменателе формулу разности квадратов:

$\frac{2\sqrt{6}-5}{(2\sqrt{6})^2 - 5^2} = \frac{2\sqrt{6}-5}{4 \cdot 6 - 25} = \frac{2\sqrt{6}-5}{24 - 25} = \frac{2\sqrt{6}-5}{-1} = -(2\sqrt{6}-5) = 5 - 2\sqrt{6}$

Теперь мы можем вычислить сумму исходных чисел:

$(2\sqrt{6}-5) + (5 - 2\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 5 + 5 - 2\sqrt{6} = 0$

Поскольку сумма данных чисел равна 0, они являются противоположными.

Ответ: Сумма чисел $2\sqrt{6}-5$ и $\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$ равна 0, следовательно, они являются противоположными.