Номер 430, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 430, страница 102.

430. Докажите, что:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }\sqrt{\frac{3}{5}}=0,2\sqrt{15} \\ {\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)}^2={(0,2\sqrt{15})}^2 \\ \frac{3}{5}=0,04·15 \\ 0,6=0,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\sqrt{\frac{2}{a}}=\frac{1}{a}\sqrt{2a} \\ {\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\right)}^2={\left(\frac{1}{a}\sqrt{2a}\right)}^2 \\ \frac{2}{a}=\frac{1}{a^2}·2a \\ \frac{2}{a}=\frac{2}{a} \end{gathered}$$

а) Для доказательства данного тождества преобразуем обе его части к одному и тому же виду.

1. Преобразуем левую часть. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, воспользуемся свойством корня из дроби и умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

2. Преобразуем правую часть. Переведем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Тогда правая часть равенства принимает вид:

$0,2\sqrt{15} = \frac{1}{5}\sqrt{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же выражению $\frac{\sqrt{15}}{5}$, тождество является верным.

Ответ: Равенство $\sqrt{\frac{3}{5}} = 0,2\sqrt{15}$ доказано.

б) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Заметим, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $a > 0$.

Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{a}$:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2a}}{a}$

Полученное выражение можно записать в виде произведения, вынеся множитель $\frac{1}{a}$:

$\frac{\sqrt{2a}}{a} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}$

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}$ доказано.