Номер 424, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 424, страница 101.

424. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{x·\sqrt{5}}{\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{x\sqrt{5}}{5}$

б) $\frac{3}{\sqrt{b}}=\frac{3\sqrt{b}}{\sqrt{b}·\sqrt{b}}=\frac{3\sqrt{b}}{b}$

в) $\frac{2}{7\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{y}}{7\sqrt{y}·\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{y}}{7y}$

г) $\frac{a}{b\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b\sqrt{b}·\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b·b}=\frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

д) $\frac{4}{\sqrt{a+b}}=\frac{4\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}·\sqrt{a+b}}=\frac{4\sqrt{a+b}}{{\left(\sqrt{a+b}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}$

е) $\frac{1}{\sqrt{a-b}}=\frac{1·\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}·\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt{a-b}}{{\left(\sqrt{a-b}\right)}^2}=\frac{\sqrt{a-b}}{a-b}$

ж) $\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}·\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2·3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$

з) $\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3·2}=\frac{8\sqrt{2}}{6}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

и) $\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}·\sqrt{2}}{5\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{5·2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{x}{\sqrt{5}} $, нужно умножить ее числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{5} $. Это действие равносильно умножению дроби на 1 ($ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1 $), поэтому значение дроби не изменится.
$ \frac{x}{\sqrt{5}} = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{x\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{x\sqrt{5}}{5} $.
Ответ: $ \frac{x\sqrt{5}}{5} $

б) В дроби $ \frac{3}{\sqrt{b}} $ знаменатель содержит иррациональное выражение $ \sqrt{b} $. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{b} $, чтобы избавиться от корня в знаменателе (при условии, что $ b > 0 $).
$ \frac{3}{\sqrt{b}} = \frac{3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{3\sqrt{b}}{b} $.
Ответ: $ \frac{3\sqrt{b}}{b} $

в) В дроби $ \frac{2}{7\sqrt{y}} $ иррациональность в знаменателе представлена множителем $ \sqrt{y} $. Для ее устранения умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{y} $ (при условии $ y > 0 $).
$ \frac{2}{7\sqrt{y}} = \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{7\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{7 \cdot y} = \frac{2\sqrt{y}}{7y} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{y}}{7y} $

г) Знаменатель дроби $ \frac{a}{b\sqrt{b}} $ содержит иррациональный множитель $ \sqrt{b} $. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{b} $ (при $ b > 0 $).
$ \frac{a}{b\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b \cdot b} = \frac{a\sqrt{b}}{b^2} $.
Ответ: $ \frac{a\sqrt{b}}{b^2} $

д) В дроби $ \frac{4}{\sqrt{a+b}} $ знаменатель является квадратным корнем из выражения. Чтобы избавиться от корня, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{a+b} $ (при условии $ a+b > 0 $).
$ \frac{4}{\sqrt{a+b}} = \frac{4 \cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a+b}} = \frac{4\sqrt{a+b}}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{4\sqrt{a+b}}{a+b} $

е) Знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt{a-b}} $ представляет собой иррациональное выражение. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{a-b} $ для устранения корня (при $ a-b > 0 $).
$ \frac{1}{\sqrt{a-b}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b} \cdot \sqrt{a-b}} = \frac{\sqrt{a-b}}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{a-b}}{a-b} $

ж) В знаменателе дроби $ \frac{5}{2\sqrt{3}} $ есть иррациональный множитель $ \sqrt{3} $. Умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{3} $.
$ \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} $.
Ответ: $ \frac{5\sqrt{3}}{6} $

з) В дроби $ \frac{8}{3\sqrt{2}} $ знаменатель содержит иррациональный множитель $ \sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6} $.
Полученную дробь можно сократить на 2: $ \frac{8\sqrt{2} \div 2}{6 \div 2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} $.
Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3} $

и) Знаменатель дроби $ \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}} $ содержит иррациональность $ \sqrt{2} $. Чтобы от нее избавиться, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5 \cdot 2}}{5 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.
Ответ: $ \frac{3\sqrt{10}}{10} $