Номер 419, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 419, страница 100.

419. Преобразуйте выражение:

a) $\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^2-1^2=x-1$

б) $\left(\sqrt{x}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2=x-a$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(\sqrt{m}+\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{m}\right)}^2+2\sqrt{m}·\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2= \\ =m+2\sqrt{2m}+2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{x}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\sqrt{3}\sqrt{x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^2= \\ =3-2\sqrt{3x}+x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\left(5\sqrt{7}-13\right)\left(5\sqrt{7}+13\right)={\left(5\sqrt{7}\right)}^2-{13}^2= \\ =25·7-169=175-169=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\left(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{3}\right)= \\ ={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2= \\ =4·2-9·3=8-27=-19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}{\left(6-\sqrt{2}\right)}^2+3\sqrt{32}= \\ =6^2-2·6\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+3\sqrt{16·2}= \\ =36-12\sqrt{2}+2+3·4\sqrt{2}= \\ =38-12\sqrt{2}+12\sqrt{2}=38 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{18}\right)}^2-30= \\ ={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\sqrt{2}·\sqrt{18}+{\left(\sqrt{18}\right)}^2-30= \\ =2+2\sqrt{36}+18-30=2+2·6+18-30= \\ =2+12+18-30=2 \end{gathered}$$

а) Для преобразования выражения $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$.
Применяем формулу: $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$.
Ответ: $x-1$.

б) Выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})$ также преобразуется с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{a}$.
Применяем формулу: $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{a})^2 = x - a$.
Ответ: $x-a$.

в) Для преобразования выражения $(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2$ используем формулу "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{2}$.
Применяем формулу: $(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{m})^2 + 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = m + 2\sqrt{2m} + 2$.
Ответ: $m + 2 + 2\sqrt{2m}$.

г) Для преобразования выражения $(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2$ используем формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{x}$.
Применяем формулу: $(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 3 - 2\sqrt{3x} + x$.
Ответ: $x + 3 - 2\sqrt{3x}$.

д) Выражение $(5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13)$ является разностью квадратов. Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5\sqrt{7}$ и $b = 13$.
Вычисляем: $(5\sqrt{7})^2 - 13^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 169 = 25 \cdot 7 - 169 = 175 - 169 = 6$.
Ответ: $6$.

е) Выражение $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})$ также является разностью квадратов. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 2\sqrt{2}$ и $b = 3\sqrt{3}$.
Вычисляем: $(2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2 = (2^2 \cdot (\sqrt{2})^2) - (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = (4 \cdot 2) - (9 \cdot 3) = 8 - 27 = -19$.
Ответ: $-19$.

ж) Преобразуем выражение $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}$.
1. Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(6 - \sqrt{2})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}$.
2. Упростим второй член, вынеся множитель из-под знака корня: $3\sqrt{32} = 3\sqrt{16 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
3. Сложим полученные результаты: $(38 - 12\sqrt{2}) + 12\sqrt{2} = 38 - 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 38$.
Ответ: $38$.

з) Преобразуем выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30$.
1. Упростим выражение в скобках. Так как $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, то: $\sqrt{2} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
2. Подставим упрощенное выражение обратно и выполним вычисления: $(4\sqrt{2})^2 - 30 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 30 = 16 \cdot 2 - 30 = 32 - 30 = 2$.
Ответ: $2$.