Номер 416, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 416, страница 100.

416. Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:

a) $\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{y}\right)=x^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2=x^2-y$

б) $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2=a-b$

в) $\left(\sqrt{11}-3\right)\left(\sqrt{11}+3\right)={\left(\sqrt{11}\right)}^2-3^2=11-9=2$

г) $$\begin{gathered} \left(\sqrt{10}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{10}\right)={\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{10}\right)}^2= \\ =7-10=-3 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2={\left(\sqrt{a}\right)}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2= \\ =a+2\sqrt{ab}+b \end{gathered}$$

е) $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)}^2={\left(\sqrt{m}\right)}^2-2\sqrt{m}\sqrt{n}+{\left(\sqrt{n}\right)}^2= \\ =m-2\sqrt{mn}+n \end{gathered}$$

ж) $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{2}+3\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·\sqrt{2}·3+3^2=2+6\sqrt{2}+9= \\ =11+6\sqrt{2} \end{gathered}$$

з) $$\begin{gathered} {\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{5}·\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2= \\ =5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10} \end{gathered}$$

а) Для решения данного примера используется формула разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В выражении $(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})$ пусть $a = x$ и $b = \sqrt{y}$.
Применяя формулу, получаем:
$(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y}) = x^2 - (\sqrt{y})^2 = x^2 - y$.
Ответ: $x^2 - y$.

б) Данное выражение $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ также упрощается с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Здесь $a$ в формуле соответствует $\sqrt{a}$, а $b$ в формуле — $\sqrt{b}$.
Выполним преобразование:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.
Ответ: $a - b$.

в) Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к выражению $(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)$. В этом случае $a = \sqrt{11}$ и $b = 3$.
Подставим значения в формулу:
$(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) = (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2$.
Ответ: $2$.

г) В выражении $(\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} - \sqrt{10})$ множители похожи на формулу разности квадратов, но порядок членов отличается. Приведем выражение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые в первой скобке: $(\sqrt{7} + \sqrt{10})$.
Теперь выражение выглядит так: $(\sqrt{7} + \sqrt{10})(\sqrt{7} - \sqrt{10})$. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{10}$.
$(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{10})^2 = 7 - 10 = -3$.
Ответ: $-3$.

д) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a$ в формуле — это $\sqrt{a}$, а $b$ — это $\sqrt{b}$.
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.
Обычно результат записывают, группируя члены без корней: $a + b + 2\sqrt{ab}$.
Ответ: $a + b + 2\sqrt{ab}$.

е) Для выражения $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$ применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{n}$.
Выполним преобразование:
$(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 = (\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = m - 2\sqrt{mn} + n$.
Сгруппируем члены: $m + n - 2\sqrt{mn}$.
Ответ: $m + n - 2\sqrt{mn}$.

ж) Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для выражения $(\sqrt{2} + 3)^2$. В данном случае $a = \sqrt{2}$ и $b = 3$.
$(\sqrt{2} + 3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9$.
Сложим числовые члены: $2 + 9 = 11$.
Результат: $11 + 6\sqrt{2}$.
Ответ: $11 + 6\sqrt{2}$.

з) Применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к выражению $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$. Здесь $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2$.
Сложим числовые члены: $5 + 2 = 7$.
Результат: $7 - 2\sqrt{10}$.
Ответ: $7 - 2\sqrt{10}$.