Номер 421, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 421, страница 101.

421. Разложите на множители выражение:

a) $3+\sqrt{3}={\left(\sqrt{3}\right)}^2+\sqrt{3}=\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)$

б) $10-2\sqrt{10}={\left(\sqrt{10}\right)}^2-2\sqrt{10}=\sqrt{10}(\sqrt{10}-2)$

в) $\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^2=\sqrt{x}(1+\sqrt{x})$

г) $a-5\sqrt{a}={\left(\sqrt{a}\right)}^2-5\sqrt{a}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)$

д) $\sqrt{a}-\sqrt{2a}=\sqrt{a}(1-\sqrt{2})$

е) $\sqrt{3m}+\sqrt{5m}=\sqrt{m}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

ж) $$\begin{gathered} \sqrt{14}-\sqrt{7}=\sqrt{7·2}-\sqrt{7}=\sqrt{7}·\sqrt{2}-\sqrt{7}= \\ =\sqrt{7}(\sqrt{2}-1) \end{gathered}$$

з) $\sqrt{33}+\sqrt{22}=\sqrt{3·11}+\sqrt{2·11}=\sqrt{11}(\sqrt{3}+\sqrt{2})$

а) Чтобы разложить выражение $3 + \sqrt{3}$ на множители, представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$. Тогда выражение примет вид $(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}$. Теперь мы можем вынести общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки.
$3 + \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$

б) В выражении $10 - 2\sqrt{10}$ разложим каждое слагаемое на множители. Число $10$ можно представить как $2 \cdot 5 = 2 \cdot (\sqrt{5})^2$, а $2\sqrt{10}$ как $2\sqrt{2 \cdot 5} = 2\sqrt{2}\sqrt{5}$.
$10 - 2\sqrt{10} = 2 \cdot 5 - 2\sqrt{10} = 2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\sqrt{5} - 2\sqrt{2}\sqrt{5}$.
Общий множитель здесь $2\sqrt{5}$. Вынесем его за скобки:
$2\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Ответ: $2\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$

в) В выражении $\sqrt{x} + x$ (при условии $x \ge 0$), представим $x$ в виде $(\sqrt{x})^2$.
$\sqrt{x} + x = \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 1 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:
$\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$.
Ответ: $\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$

г) В выражении $a - 5\sqrt{a}$ (при условии $a \ge 0$), представим $a$ в виде $(\sqrt{a})^2$.
$a - 5\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - 5\sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - 5\sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$\sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)$

д) В выражении $\sqrt{a} - \sqrt{2a}$ (при условии $a \ge 0$), используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
$\sqrt{a} - \sqrt{2a} = \sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{a} = 1 \cdot \sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$\sqrt{a}(1 - \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 - \sqrt{2})$

е) В выражении $\sqrt{3m} + \sqrt{5m}$ (при условии $m \ge 0$), используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
$\sqrt{3m} + \sqrt{5m} = \sqrt{3}\sqrt{m} + \sqrt{5}\sqrt{m}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{m}$ за скобки:
$\sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.
Ответ: $\sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$

ж) В выражении $\sqrt{14} - \sqrt{7}$ представим $14$ как произведение $2 \cdot 7$.
$\sqrt{14} - \sqrt{7} = \sqrt{2 \cdot 7} - \sqrt{7} = \sqrt{2}\sqrt{7} - 1 \cdot \sqrt{7}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки:
$\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$

з) В выражении $\sqrt{33} + \sqrt{22}$ представим подкоренные выражения в виде произведений: $33 = 3 \cdot 11$ и $22 = 2 \cdot 11$.
$\sqrt{33} + \sqrt{22} = \sqrt{3 \cdot 11} + \sqrt{2 \cdot 11} = \sqrt{3}\sqrt{11} + \sqrt{2}\sqrt{11}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{11}$ за скобки:
$\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$