Номер 426, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 426, страница 101.

426. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{4}{\sqrt{3}+1}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1}= \\ =\frac{4(\sqrt{3}-1)}{2}=2(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}= \\ =\frac{\sqrt{2}+1}{1}=-1-\sqrt{2} \end{gathered}$$

в) $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$

г) $\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$

д) $\frac{33}{7-3\sqrt{3}}=\frac{33·(7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3})(7+3\sqrt{3})}=$

$$\begin{gathered} =\frac{33(7+3\sqrt{3})}{7^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-9·3}=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-27}= \\ =\frac{33(7+3\sqrt{3})}{22}=\frac{3(7+3\sqrt{3})}{2}=\frac{21+9\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

е) $\frac{15}{2\sqrt{5}+5}=\frac{15(2\sqrt{2}-5)}{(2\sqrt{5}+5)(2\sqrt{5}-5)}=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2-5^2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4·5-25}=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{20-25}=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5}= \\ =-3(2\sqrt{5}-5)=-6\sqrt{5}+15=15-6\sqrt{5} \end{gathered}$$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{3}+1} $, необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение. Сопряженным выражением для $ \sqrt{3}+1 $ является $ \sqrt{3}-1 $. Это делается для того, чтобы в знаменателе применить формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \cdot (\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} $

Сокращаем дробь на 2:

$ \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}-2 $

Ответ: $ 2\sqrt{3}-2 $

б) Для дроби $ \frac{1}{1-\sqrt{2}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 1-\sqrt{2} $ является $ 1+\sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$ \frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2}) \cdot (1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1+\sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} $

Изменяем знак дроби:

$ \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -(1+\sqrt{2}) = -1-\sqrt{2} $

Ответ: $ -1-\sqrt{2} $

в) Для дроби $ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{x}-\sqrt{y} $ является $ \sqrt{x}+\sqrt{y} $. Умножим числитель и знаменатель на него. Подразумевается, что $ x \ge 0, y \ge 0 $ и $ x \neq y $.

$ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y} $

г) Для дроби $ \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ является $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $. Умножим числитель и знаменатель на него. Подразумевается, что $ a \ge 0, b \ge 0 $ и $ a \neq b $.

$ \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} $

Ответ: $ \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} $

д) Для дроби $ \frac{33}{7-3\sqrt{3}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 7-3\sqrt{3} $ является $ 7+3\sqrt{3} $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$ \frac{33}{7-3\sqrt{3}} = \frac{33 \cdot (7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3}) \cdot (7+3\sqrt{3})} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{7^2 - (3\sqrt{3})^2} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49 - 9 \cdot 3} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49 - 27} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{22} $

Сокращаем дробь на 11:

$ \frac{3 \cdot 11 \cdot (7+3\sqrt{3})}{2 \cdot 11} = \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2} = \frac{21+9\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{21+9\sqrt{3}}{2} $

е) Для дроби $ \frac{15}{2\sqrt{5}+5} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 2\sqrt{5}+5 $ является $ 2\sqrt{5}-5 $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$ \frac{15}{2\sqrt{5}+5} = \frac{15 \cdot (2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5}+5) \cdot (2\sqrt{5}-5)} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5})^2 - 5^2} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4 \cdot 5 - 25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{20 - 25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5} $

Сокращаем дробь на -5:

$ \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5} = -3(2\sqrt{5}-5) = -6\sqrt{5} + 15 = 15 - 6\sqrt{5} $

Ответ: $ 15-6\sqrt{5} $