Номер 432, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 432, страница 102.

432. Среди чисел есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.

$$\begin{gathered} (15\sqrt{3}-4\sqrt{2})·\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}= \\ =(15\sqrt{3}-4\sqrt{2})·\frac{1}{\sqrt{225·3}-\sqrt{16·2}}= \\ =\frac{15\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{15\sqrt{3}-4\sqrt{2}}=1 \end{gathered}$$

Значит, пара чисел $15\sqrt{3}-4\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}$ - взаимно обратные

$$\begin{gathered} \sqrt{80}-5\sqrt{3}=\sqrt{16·5}-5\sqrt{3}=4\sqrt{5}-5\sqrt{3} \\ \sqrt{75}-4\sqrt{5}=\sqrt{25·3}-4\sqrt{5}=5\sqrt{3}-4\sqrt{5}= \\ =-(4\sqrt{5}-5\sqrt{3}) \end{gathered}$$

Значит, пара чисел $\sqrt{80}-5\sqrt{3}$ и $\sqrt{75}-4\sqrt{5}$ - противоположные

Для того чтобы найти требуемые пары чисел, необходимо упростить каждое из данных выражений, вынеся множители из-под знака корня, где это возможно.

1. $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ — данное выражение уже представлено в простейшем виде.

2. $6 - \sqrt{12} = 6 - \sqrt{4 \cdot 3} = 6 - 2\sqrt{3}$.

3. $\sqrt{80} - 5\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 5} - 5\sqrt{3} = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$.

4. $\sqrt{75} - 4\sqrt{5} = \sqrt{25 \cdot 3} - 4\sqrt{5} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}$.

5. $\frac{1}{2\sqrt{3} - 6}$. Это выражение связано со вторым числом: $2\sqrt{3} - 6 = -(6 - 2\sqrt{3})$.

6. $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$. Упростим корни в знаменателе:
$\sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
Таким образом, выражение принимает вид: $\frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}$.

Теперь, когда все числа приведены к более простому виду, найдем искомые пары.

Пара противоположных чисел

Противоположными называются числа, сумма которых равна нулю (например, $a$ и $-a$).
Сравним упрощенные выражения. Заметим, что число $\sqrt{75} - 4\sqrt{5}$, равное $5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}$, является противоположным числу $\sqrt{80} - 5\sqrt{3}$, равному $4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$, так как:
$5\sqrt{3} - 4\sqrt{5} = -(4\sqrt{5} - 5\sqrt{3})$.
Проверим их сумму:
$(\sqrt{80} - 5\sqrt{3}) + (\sqrt{75} - 4\sqrt{5}) = (4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 0$.
Сумма равна нулю, следовательно, эти числа являются противоположными.
Ответ: $\sqrt{80} - 5\sqrt{3}$ и $\sqrt{75} - 4\sqrt{5}$.

Пара взаимно обратных чисел

Взаимно обратными называются числа, произведение которых равно единице (например, $a$ и $\frac{1}{a}$).
Рассмотрим число $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ и число $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$.
Мы уже показали, что $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} = \frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}$.
Очевидно, что второе число является обратным к первому. Найдем их произведение для проверки:
$(15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}} = 1$.
Произведение равно единице, следовательно, эти числа являются взаимно обратными.
Ответ: $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$.