Номер 435, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 435, страница 103.

435. Площадь кольца вычисляется по формуле S = π(R² – r²), где R — радиус внешнего круга, а r — радиус внутреннего круга. Выразите R через S и r.

$$\begin{gathered} S=\mathrm{\pi }\left({\mathrm{R}}^2-{\mathrm{r}}^2\right) \\ {\mathrm{R}}^2-{\mathrm{r}}^2=\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{\pi }} \\ {\mathrm{R}}^2=\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{\pi }}+{\mathrm{r}}^2=\frac{\mathrm{S}+{\mathrm{\pi r}}^2}{\mathrm{\pi }} \\ \mathrm{R}=\sqrt{\frac{\mathrm{S}+{\mathrm{\pi r}}^2}{\mathrm{\pi }}} \end{gathered}$$

Для того чтобы выразить радиус внешнего круга $R$ через площадь кольца $S$ и радиус внутреннего круга $r$, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований с исходной формулой $S = \pi(R^2 - r^2)$.

1. Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы выделить выражение в скобках:

$\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$

2. Теперь изолируем $R^2$. Для этого перенесем $-r^2$ из правой части уравнения в левую, изменив знак на противоположный (что эквивалентно прибавлению $r^2$ к обеим частям уравнения):

$\frac{S}{\pi} + r^2 = R^2$

3. Чтобы найти $R$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей полученного равенства. Поскольку радиус $R$ — это геометрическая величина (длина), он может быть только неотрицательным числом. Поэтому мы берем арифметический (положительный) квадратный корень:

$R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$