Номер 437, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 437, страница 105.

437. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2\sqrt{5}}= \\ =\sqrt{{(1+\sqrt{5})}^2}=\left|1+\sqrt{5}\right|=1+\sqrt{5} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{11-4\sqrt{7}}=\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{7}\right)}^2-4\sqrt{7}}= \\ =\sqrt{{(\sqrt{7}-2)}^2}=\left|\sqrt{7}-2\right|=\sqrt{7}-2 \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$, представим подкоренное выражение $6 + 2\sqrt{5}$ в виде полного квадрата. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Мы ищем два числа $a$ и $b$, такие что $a^2+b^2 = 6$ и $2ab = 2\sqrt{5}$. Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{5}$.

Если представить $a$ и $b$ в виде $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, то их квадрат будет $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$. Сравнивая это с выражением $6+2\sqrt{5}$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 5 \end{cases}$

Методом подбора или по теореме Виета легко найти, что числами, удовлетворяющими этой системе, являются $x=5$ и $y=1$.

Таким образом, подкоренное выражение можно представить в виде квадрата суммы:

$6 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5} + 1)^2$.

Теперь извлечем корень из полученного выражения:

$\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = |\sqrt{5} + 1|$.

Так как $\sqrt{5} + 1$ — число положительное, то модуль равен самому выражению.

Ответ: $\sqrt{5} + 1$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$, представим подкоренное выражение $11 - 4\sqrt{7}$ в виде полного квадрата. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.

Сначала преобразуем член с корнем к виду, содержащему $2ab$: $4\sqrt{7} = 2 \cdot 2\sqrt{7}$.

Теперь ищем два числа $a$ и $b$, такие что $a^2+b^2=11$ и $ab=2\sqrt{7}$.

Методом подбора можно заметить, что если взять $a=\sqrt{7}$ и $b=2$, то оба условия выполняются:

$a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2 + 2^2 = 7+4=11$.

$ab = \sqrt{7} \cdot 2 = 2\sqrt{7}$.

Таким образом, подкоренное выражение можно представить как квадрат разности:

$11 - 4\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{7} - 2)^2$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 2)^2} = |\sqrt{7} - 2|$.

Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо сравнить числа $\sqrt{7}$ и $2$. Поскольку $7>4$, то $\sqrt{7} > \sqrt{4}$, а значит $\sqrt{7} > 2$. Следовательно, выражение $\sqrt{7} - 2$ является положительным.

$|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$.

Ответ: $\sqrt{7} - 2$.