Номер 442, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 442, страница 106.

442. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}}=\frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}·\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}·\sqrt{4-\sqrt{11}}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{{(4-\sqrt{11})}^2}}{\sqrt{16-11}}=\frac{\left|4-\sqrt{11}\right|}{\sqrt{5}}= \\ =\frac{(4-\sqrt{11})·\sqrt{5}}{\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{55}}{5} \end{gathered}$$

б) $\frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}·\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}·\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}^2}}{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}}=\frac{\left|\sqrt{5}+\sqrt{3}\right|}{\sqrt{5-3}}= \\ =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} \end{gathered}$$

в) $\frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}}=\frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}·\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}·\sqrt{\sqrt{5}-2}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{{(\sqrt{5}-2)}^2}}{\sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}}=\frac{\left|\sqrt{5}-2\right|}{\sqrt{5-4}}= \\ =\frac{\sqrt{5}-2}{1}=\sqrt{5}-2 \end{gathered}$$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, как правило, домножают числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы в знаменателе исчез знак корня. Часто для этого используется формула разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

а)

Дана дробь $ \frac{\sqrt{4 - \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}} $.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{4 - \sqrt{11}} $. Это позволит применить формулу разности квадратов для подкоренного выражения в знаменателе.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{4 - \sqrt{11}} \cdot \sqrt{4 - \sqrt{11}} = (\sqrt{4 - \sqrt{11}})^2 = 4 - \sqrt{11} $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sqrt{4 + \sqrt{11}} \cdot \sqrt{4 - \sqrt{11}} = \sqrt{(4 + \sqrt{11})(4 - \sqrt{11})} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{11})^2} = \sqrt{16 - 11} = \sqrt{5} $.

Получаем новую дробь:

$ \frac{4 - \sqrt{11}}{\sqrt{5}} $.

В знаменателе все еще есть иррациональность. Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \frac{(4 - \sqrt{11}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{11}\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5} $.

Теперь знаменатель (5) — рациональное число.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5} $

б)

Дана дробь $ \frac{\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{3}}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = (\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}})^2 = \sqrt{5} + \sqrt{3} $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5 - 3} = \sqrt{2} $.

Получаем новую дробь:

$ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Чтобы окончательно избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{2} + \sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2} $.

Теперь знаменатель (2) — рациональное число.

Ответ: $ \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2} $

в)

Дана дробь $ \frac{\sqrt{\sqrt{5} - 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 2}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{\sqrt{5} - 2} $.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{\sqrt{5} - 2} \cdot \sqrt{\sqrt{5} - 2} = (\sqrt{\sqrt{5} - 2})^2 = \sqrt{5} - 2 $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sqrt{\sqrt{5} + 2} \cdot \sqrt{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1 $.

Получаем выражение:

$ \frac{\sqrt{5} - 2}{1} = \sqrt{5} - 2 $.

Знаменатель равен 1, что является рациональным числом.

Ответ: $ \sqrt{5} - 2 $