Номер 440, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование двойных радикалов. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 440, страница 106.

440. Упростите выражение, вычислив предварительно значение а², если:

a) $a=\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}$

$$\begin{gathered} a^2={(\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}})}^2= \\ {=\left(\sqrt{11+\sqrt{85}}\right)}^2-2\sqrt{11+\sqrt{85}}·\sqrt{11-\sqrt{85}}+ \\ +{\left(\sqrt{11-\sqrt{85}}\right)}^2=11+\sqrt{85}- \\ -2\sqrt{(11+\sqrt{85})(11-\sqrt{85})}+11-\sqrt{85}= \\ =22-2\sqrt{{11}^2-{\left(\sqrt{85}\right)}^2}=22-2\sqrt{121-85}= \\ =22-2·\sqrt{36}=22-2·6=22-12=10 \\ a=\sqrt{10} \end{gathered}$$

б) $a=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$

$$\begin{gathered} a^2={(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})}^2={\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)}^2+ \\ +2\sqrt{3+\sqrt{5}}\sqrt{3-\sqrt{5}}+{\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)}^2= \\ =3+\sqrt{5}+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+3-\sqrt{5}= \\ =6+2\sqrt{3^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=6+2\sqrt{9-5}= \\ 6+2·\sqrt{4}=6+2·2=10 \\ a=\sqrt{10} \end{gathered}$$

а)

Дано выражение $a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Согласно условию, сначала вычислим значение $a^2$. Для этого возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 = (\sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}})^2$

$a^2 = (\sqrt{11 + \sqrt{85}})^2 - 2 \cdot \sqrt{11 + \sqrt{85}} \cdot \sqrt{11 - \sqrt{85}} + (\sqrt{11 - \sqrt{85}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{11 + \sqrt{85}})^2 = 11 + \sqrt{85}$

$(\sqrt{11 - \sqrt{85}})^2 = 11 - \sqrt{85}$

Для среднего члена используем свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$:

$2 \cdot \sqrt{11 + \sqrt{85}} \cdot \sqrt{11 - \sqrt{85}} = 2 \cdot \sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 - \sqrt{85})} = 2 \cdot \sqrt{11^2 - (\sqrt{85})^2}$

$= 2 \cdot \sqrt{121 - 85} = 2 \cdot \sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение для $a^2$:

$a^2 = (11 + \sqrt{85}) - 12 + (11 - \sqrt{85})$

$a^2 = 11 + \sqrt{85} - 12 + 11 - \sqrt{85} = 22 - 12 = 10$

Итак, мы получили, что $a^2 = 10$. Отсюда следует, что $a = \sqrt{10}$ или $a = -\sqrt{10}$.

Чтобы определить знак $a$, сравним уменьшаемое и вычитаемое в исходном выражении: $\sqrt{11 + \sqrt{85}}$ и $\sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Так как $\sqrt{85} > 0$, то $11 + \sqrt{85} > 11 - \sqrt{85}$. Поскольку функция квадратного корня является возрастающей для неотрицательных чисел, то $\sqrt{11 + \sqrt{85}} > \sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Следовательно, разность $a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}}$ является положительным числом, то есть $a > 0$.

Из двух возможных значений $a = \sqrt{10}$ и $a = -\sqrt{10}$ выбираем положительное.

Ответ: $a = \sqrt{10}$.

б)

Дано выражение $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$.

Вычислим значение $a^2$. Для этого возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})^2$

$a^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} + (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5}$

$(\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 = 3 - \sqrt{5}$

Для среднего члена используем свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$:

$2 \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} = 2 \cdot \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = 2 \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= 2 \cdot \sqrt{9 - 5} = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение для $a^2$:

$a^2 = (3 + \sqrt{5}) + 4 + (3 - \sqrt{5})$

$a^2 = 3 + \sqrt{5} + 4 + 3 - \sqrt{5} = 10$

Итак, мы получили, что $a^2 = 10$. Отсюда следует, что $a = \sqrt{10}$ или $a = -\sqrt{10}$.

Чтобы определить знак $a$, заметим, что оба слагаемых в исходном выражении являются положительными числами. Во-первых, $3 + \sqrt{5} > 0$. Во-вторых, чтобы выражение $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ имело смысл, нужно, чтобы $3 - \sqrt{5} \ge 0$. Сравним $3$ и $\sqrt{5}$: $3^2 = 9$, $(\sqrt{5})^2 = 5$. Так как $9 > 5$, то $3 > \sqrt{5}$, следовательно $3 - \sqrt{5} > 0$.

Сумма двух положительных чисел всегда положительна, поэтому $a > 0$.

Из двух возможных значений $a = \sqrt{10}$ и $a = -\sqrt{10}$ выбираем положительное.

Ответ: $a = \sqrt{10}$.