Номер 2, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 6. Применение свойств арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 103.

2. На примере выражения 8a покажите, как можно вынести множитель из-под знака корня.

$\sqrt{8a}=\sqrt{4·2a}=\sqrt{4a}·\sqrt{2a}=2\sqrt{2a}$

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, из которых можно точно извлечь квадратный корень (то есть, которые являются полными квадратами). Затем используется свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$).

Рассмотрим выражение $\sqrt{8a}$. Прежде всего, отметим, что данное выражение имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть $8a \ge 0$. Поскольку $8 > 0$, это неравенство выполняется при $a \ge 0$.

Теперь выполним преобразование:

1. Разложим числовой коэффициент 8 на множители так, чтобы выделить среди них наибольший возможный полный квадрат. Число 8 можно представить как произведение $4 \cdot 2$. Множитель 4 является полным квадратом, так как $4 = 2^2$.

2. Перепишем исходное выражение, подставив в него разложение числа 8:
$\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a}$

3. Используя свойство корня из произведения, разделим корень на два корня:
$\sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a}$

4. Извлечем корень из полного квадрата: $\sqrt{4} = 2$.

5. Запишем итоговое выражение:
$2 \cdot \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}$

Таким образом, мы вынесли множитель 2 из-под знака корня, упростив выражение $\sqrt{8a}$ до $2\sqrt{2a}$.

Ответ: $2\sqrt{2a}$