Страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

435. Площадь кольца вычисляется по формуле S = π(R² – r²), где R — радиус внешнего круга, а r — радиус внутреннего круга. Выразите R через S и r.

$$\begin{gathered} S=\mathrm{\pi }\left({\mathrm{R}}^2-{\mathrm{r}}^2\right) \\ {\mathrm{R}}^2-{\mathrm{r}}^2=\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{\pi }} \\ {\mathrm{R}}^2=\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{\pi }}+{\mathrm{r}}^2=\frac{\mathrm{S}+{\mathrm{\pi r}}^2}{\mathrm{\pi }} \\ \mathrm{R}=\sqrt{\frac{\mathrm{S}+{\mathrm{\pi r}}^2}{\mathrm{\pi }}} \end{gathered}$$

Для того чтобы выразить радиус внешнего круга $R$ через площадь кольца $S$ и радиус внутреннего круга $r$, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований с исходной формулой $S = \pi(R^2 - r^2)$.

1. Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы выделить выражение в скобках:

$\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$

2. Теперь изолируем $R^2$. Для этого перенесем $-r^2$ из правой части уравнения в левую, изменив знак на противоположный (что эквивалентно прибавлению $r^2$ к обеим частям уравнения):

$\frac{S}{\pi} + r^2 = R^2$

3. Чтобы найти $R$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей полученного равенства. Поскольку радиус $R$ — это геометрическая величина (длина), он может быть только неотрицательным числом. Поэтому мы берем арифметический (положительный) квадратный корень:

$R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$

436. Напишите для каждой прямой, изображённой на рисунке 21, уравнение, графиком которого является эта прямая.

a) Выберем на прямой точки (4;-1) и (9;0) y=kx+b - уравнение прямой

$\left\{\begin{array}{l}-1=k·4+b\\ 0=k·9+b\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}b=-1-4k\\ 9k-1-4k=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}b=-1-4k\\ 5k=1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{5}\\ b=-1-4·\frac{1}{5}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{5}\\ b=-1-\frac{4}{5}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{5}\\ b=-\frac{9}{5}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{5}k-\frac{9}{5} \\ y=0,2k-1,8 \end{gathered}$$

б) Выберем на прямой точки (-2;5) и (3;-5)

$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=5\\ 3k+b=-5 /·(-1)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2k+b=5\\ -3k-b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-5k=10\\ -2k+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ -2·(-2)+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ 4+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=1\end{array}\right.$

y=-2k+1

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$. Чтобы найти уравнение для каждой прямой, нам нужно определить значения $k$ и $b$ для каждой из них.

a)

Рассмотрим прямую a.
1. Найдём коэффициент $b$. Это точка, в которой прямая пересекает ось $y$. По графику видно, что прямая a пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, -2)$. Следовательно, $b = -2$.
2. Найдём угловой коэффициент $k$. Для этого выберем две точки на прямой, координаты которых легко определить по сетке. Возьмём точку пересечения с осью $y$ — $(0, -2)$, и еще одну точку, например, $(8, 0)$.
Угловой коэффициент вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты наших точек $(x_1, y_1) = (0, -2)$ и $(x_2, y_2) = (8, 0)$:
$k = \frac{0 - (-2)}{8 - 0} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
3. Теперь, зная $k = \frac{1}{4}$ и $b = -2$, составим уравнение прямой a:
$y = \frac{1}{4}x - 2$.
Ответ: $y = \frac{1}{4}x - 2$

b)

Рассмотрим прямую b.
1. Найдём коэффициент $b$. Прямая b пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, 2)$. Следовательно, $b = 2$.
2. Найдём угловой коэффициент $k$. Выберем две точки на прямой b. Возьмём точку $(0, 2)$ и, например, точку $(1, 0)$.
Подставим координаты этих точек $(x_1, y_1) = (0, 2)$ и $(x_2, y_2) = (1, 0)$ в формулу для углового коэффициента:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2$.
3. Зная $k = -2$ и $b = 2$, составим уравнение прямой b:
$y = -2x + 2$.
Ответ: $y = -2x + 2$

1. На примере выражения 3a покажите, как можно внести множитель под знак корня.

$3\sqrt{a}=\sqrt{9}·\sqrt{a}=\sqrt{9a}$

Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель во вторую степень (в квадрат) и записать результат под знаком корня, умножив его на исходное подкоренное выражение. Это правило основывается на тождестве $\sqrt{x^2} = x$ для любого неотрицательного числа $x$.

Рассмотрим на примере выражения $3\sqrt{a}$.

1. Определяем множитель, который нужно внести под корень. В данном случае это число 3.

2. Так как $3$ — положительное число, мы можем представить его в виде квадратного корня из его квадрата:$3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

3. Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$3\sqrt{a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a}$

4. Воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$). Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{9 \cdot a} = \sqrt{9a}$

Таким образом, внесение множителя 3 под знак корня в выражении $3\sqrt{a}$ преобразует его в $\sqrt{9a}$. Данное преобразование является тождественным при условии, что переменная $a$ неотрицательна ($a \ge 0$), так как только в этом случае исходное выражение имеет смысл.

Ответ: $3\sqrt{a} = \sqrt{3^2 \cdot a} = \sqrt{9a}$.

2. На примере выражения 8a покажите, как можно вынести множитель из-под знака корня.

$\sqrt{8a}=\sqrt{4·2a}=\sqrt{4a}·\sqrt{2a}=2\sqrt{2a}$

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, из которых можно точно извлечь квадратный корень (то есть, которые являются полными квадратами). Затем используется свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$).

Рассмотрим выражение $\sqrt{8a}$. Прежде всего, отметим, что данное выражение имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть $8a \ge 0$. Поскольку $8 > 0$, это неравенство выполняется при $a \ge 0$.

Теперь выполним преобразование:

1. Разложим числовой коэффициент 8 на множители так, чтобы выделить среди них наибольший возможный полный квадрат. Число 8 можно представить как произведение $4 \cdot 2$. Множитель 4 является полным квадратом, так как $4 = 2^2$.

2. Перепишем исходное выражение, подставив в него разложение числа 8:
$\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a}$

3. Используя свойство корня из произведения, разделим корень на два корня:
$\sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a}$

4. Извлечем корень из полного квадрата: $\sqrt{4} = 2$.

5. Запишем итоговое выражение:
$2 \cdot \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}$

Таким образом, мы вынесли множитель 2 из-под знака корня, упростив выражение $\sqrt{8a}$ до $2\sqrt{2a}$.

Ответ: $2\sqrt{2a}$

3. На примере выражений 1a и 1a + b покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1·\sqrt{a}}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a} \\ \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{1·(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}= \\ =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{{\sqrt{a}}^2-{\sqrt{b}}^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} \end{gathered}$$

Освобождение от иррациональности в знаменателе — это преобразование дроби к такому виду, чтобы ее знаменатель не содержал знаков корня (радикалов). Метод зависит от вида иррационального выражения в знаменателе.

$\frac{1}{\sqrt{a}}$

В данном случае знаменатель состоит из одного квадратного корня. Чтобы от него избавиться, нужно числитель и знаменатель дроби домножить на этот же корень. Это действие основано на свойстве $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$. Преобразование имеет смысл при $a > 0$.

Выполним умножение:

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

Таким образом, мы получили дробь с рациональным знаменателем $a$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{a}$

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

В этом случае знаменатель представляет собой сумму (или разность) двух квадратных корней. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ является выражение $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

При умножении знаменателя на сопряженное ему выражение мы используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Преобразование имеет смысл при $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$.

Выполним умножение:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

В результате мы получили дробь с рациональным знаменателем $a - b$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$